Построение области устойчивости

Рассмотрим процедуру построения области устойчивости для системы с П, И и ПИ – регуляторами. В случае ПИ регулятора

область устойчивости строится на плоскости в координатах К₁ и К₀.

Передаточную функцию объекта (4) запишем следующим образом

Рассмотрим несколько случаев.

1. П регулятор

Передаточная функция разомкнутой системы

Запишем характеристический полином замкнутой системы

где .

Полином (10) имеет третий порядок, коэффициенты – постоянные и заведомо положительные величины (см. формулы (8)). Свободный член величина переменная и зависит от коэффициента усиления регулятора . Изменяя можно влиять на устойчивость и качество регулирования системы. С учетом этого, условия устойчивости по критерию Гурвица записываются следующим образом

(12)

Подставим в последние уравнения , тогда

(13)

и, разрешая их относительно , получим условия устойчивости

(14)

Критические значения коэффициента усиления получим, если знаки неравенств в (13) заменим на равенства, тогда

, (15)

Первое значение в формулах (15) соответствует так называемой апериодической границе устойчивости (). При этом как легко видеть имеет нулевой корень. Второе условие определяет колебательную границу устойчивости. В системе существуют незатухающие колебания, а имеет пару чисто мнимых корней

Как следует из полученных формул коэффициент усиления регулятора (или, что эквивалентно, разомкнутой системы) ограничен сверху и снизуусловиями устойчивости. Это свойство справедливо практически для всех систем.

1. И регулятор

Передаточная функция регулятора

(16)

Передаточная функция разомкнутой системы

(17)

Характеристический полином замкнутой системы

или (18)

где .

(19)

Полином (18) имеет четвертый порядок. Свободный член величина переменная и зависит от коэффициента усиления регулятора . Остальные коэффициенты, как и в случае с П регулятором, постоянные и заведомо положительные величины (см. формулы (19)). Изменяя можно влиять на устойчивость и качество регулирования системы. Условия устойчивости по критерию Гурвица для системы 4-го порядка с учетом сделанных замечаний записываются следующим образом [1, 2]

, (20)

или после подстановки и

, (21)

Разрешая полученные неравенства относительно , найдем область устойчивости

(22)

Заменив в (21) знаки неравенств на равенства найдем критические значения

и (23)

И в этом случае коэффициент усиления ограничен сверху и снизу из условий устойчивости

1. ПИ регулятор

Передаточная функция регулятора

(1)

Передаточная функция разомкнутой системы

(24)

Запишем характеристический полином замкнутой системы

или (25)

где ,

(26)

Полином (25) имеет четвертый порядок. Свободный член и величины переменные и зависят от коэффициентов усиления регулятора и . Остальные коэффициенты постоянные и заведомо положительные величины (см. формулы (26)). Изменяя и можно влиять на устойчивость и качество регулирования системы. Условия устойчивости (20) после подстановки и записываются следующим образом

, (27)

Разрешая последние неравенства относительно , получим

, (28-1)

(28-2)

Примерный вид области устойчивости в плоскости К₁, К₀ приведен на рис. 2.

Заменив в уравнениях (28) знаки неравенства на равенства получим уравнения граничных точек области устойчивости.

Область устойчивости на рис.2 согласно уравнениям (28) ограничена снизу осью К₁ (К₀ > 0) и параболой (28-2) сверху.

Отрезок оси 0В есть область (отрезок) устойчивости И – регулятора (K₁=0). Точки 0 и В отвечают критическим значениям К₀ и определяются формулами (23). Любой отрезок параллельный оси К₀ в области устойчивости есть отрезок устойчивости относительно К₀ при некоторым фиксированном значении K₁. Отрезок АС оси K₁ есть отрезок устойчивости П - регулятора (К₀=0). Точки А и С отвечают критическим значениям К₁ и определяются формулами (15).

При построении области устойчивости целесообразно предварительно определить точки пересечения кривой с осями координат (К₀ = 0, К₁ = 0 – точки А, С и В соответственно). Поскольку условие К₀ = 0 соответствует пропорциональному регулятору W_p(s) = K₁, то точки прямой К₀ = 0 на рис. 2 могут входить в область устойчивости системы.