![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Типовые примеры. 1. Являются ли линейно зависимыми (независимыми) векторы
1. Являются ли линейно зависимыми (независимыми) векторы ► По определению линейная зависимость или независимость векторов устанавливается исходя из условия равенства нулю линейной комбинации этих векторов или в развёрнутом виде
Если эти равенства выполняются при условии, что хотя бы один из коэффициентов
2. При каких ► По условию задачи надо найти такие или в развёрнутом виде Записанные соотношения представляют собой систему неоднородных линейных уравнений относительно
Сначала определим ранг основной матрицы. Видно, что отличные от нуля миноры второго порядка в матрице имеются, наТиповой пример, минор, стоящий в левом верхнем углу. Вычислим теперь минор третьего порядка (определитель) основной матрицы
Следовательно, ранг основной матрицы равен двум. Таким образом рассматриваемая система будет совместна, если ранг расширенной матрицы также будет равен двум. Для этого необходимо, чтобы второй минор третьего порядка расширенной матрицы был равен нулю, т.е. откуда следует
2. Базис и размерность линейного пространства. Фундаментальным вопросом теории линейных пространств является вопрос о том, можно ли, а если можно, то как, произвольный вектор пространства представить в виде линейной комбинации фиксированного набора векторов из этого пространства. Далее мы получим ответ на этот вопрос. Система линейно независимых векторов
Это равенство называется разложением вектора Утверждение. Базисом линейного пространства решений однородной системы является ее фундаментальная система решений. ТЕОРЕМА (о единственности разложения по базису). Каждый вектор Главное значение базиса заключается в том, что операции сложения векторов и умножения их на числа при задании базиса превращаются в соответствующие операции над числами – координатами этих векторов. А именно, справедлива следующая ТЕОРЕМА. При сложении двух любых векторов линейного пространства Типовой пример. Исследуем вопрос о базисе пространства ► Во-первых, эти векторы линейно независимы. Проверка линейной независимости набора
Но в силу только что доказанной теоремы
а последний вектор является нулевым лишь при условии Векторное пространство Размерность векторного пространства, состоящего из одного нулевого вектора, принимается равной нулю. Размерность пространства Векторное пространство Выясним связь между понятиями базиса и размерности пространства. ТЕОРЕМА. Если ТЕОРЕМА. Если векторное пространство Утверждение. Типовые примеры. 1. Образуют ли базис в пространстве R3 векторы ► По определению базис составляют линейно независимые векторы. Линейная зависимость (или независимость) определяется исходя из анализа равенства нулю линейной комбинации этих векторов:
Последнее векторное уравнение после записи его по компонентам представляет собой систему трёх однородных уравнений относительно Определитель системы равен нулю, следовательно, она имеет нетривиальное решение и это означает, что исходная группа векторов линейно зависима и не образует базис в R3. ◄ 2. Найти размерность и один из базисов линейного пространства решений однородной системы: ► Представленная система состоит из трёх уравнений и содержит 5 неизвестных. Выпишем матрицу системы и упростим её с помощью элементарных преобразований, сначала поменяв местами строки 1 и 2, а затем вычитая новую первую строку, умноженную на 3 и 4, соответственно из второй и третьей строк: Видно что ранг матрицы Отсюда, выражая главные неизвестные через свободные, получим общее решение Или иначе:
Фундаментальная совокупность решений является базисом линейного пространства решений исходной системы и в данном случае имеет вид
Размерность искомого пространства равна 3.◄
Матрицей перехода от базиса где для каждого Утверждение. Координаты где Утверждение. Матрица перехода
|