Ортогональное разложение векторов.Говорят, что вектор ортогонален к подпро­странству , если вектор ортогонален любому вектору из этого подпространства.

Ортогональным дополнением к подпространству из евклидова пространства называется множество всех век­торов из , ортогональных подпространству . Обозначается .

Пусть вектор представлен в виде , где , а , тогда вектор называется ортогональной проекцией вектора на подпространство , вектор называется ортогональной составляющей вектора относительно подпространства , число называется расстоянием от вектора до подпространства , а угол между векторами и называется углом между вектором и подпространством .

Утверждение. Ортогональное дополнение к подпространству из евклидова пространства само является подпространством евклидова пространства .

Утверждение. Сумма подпространств + является прямой суммой.

Утверждение. Если – некоторое подпространство евклидова пространства , то справедливо равенство + = .

Типовой пример. Найти ортогональную проекцию вектора на подпространство , порождённое векторами

.

► Вначале определим базис данного подпространства. Проверим, являются ли линейно независимыми векторы . Условие линейной независимости (зависимости) данных векторов представляет собой систему уравнений относительно коэффициентов . Найдём решение этой системы с помощью элементарных преобразований её матрицы:

Как видно, ранг системы равен 3, определитель системы отличен от нуля. Следовательно, однородная система трёх уравнений для трёх неизвестных имеет лишь тривиальное решение: .

Таким образом векторы линейно независимы и составляют базис заданного подпространства. По определению вектор , представляющий ортогональную проекцию на подпространство , принадлежит и ортогонален . Эти условия приводят в итоге к системе уравнений для координат вектора в базисе подпространства : , где - элементы матрицы Грамма. В соответствии с формулами Крамера решение этой системы имеет вид

где - определитель матрицы Грамма системы базисных векторов, а - определитель, полученный из определителя Грамма заменой -го столбца на столбец из свободных членов выписанной системы уравнений.

В рассматриваемой задаче элементы матрицы Грамма равны

Элементы столбца свободных членов: .

Учитывая это, для определителей имеем

Откуда . Таким образом, для ортогональной прекции вектора на подпространство получим ◄

Пример. Предприятие выпускает четыре вида продукции в количествах 50, 80, 20, 120 ед. При этом нормы расхода сырья составляют соответственно 7; 3, 5; 10 и 4 кг. Определить суммарный расход сырья и его изменение при изменении выпуска продукции соответственно на +5, -4, -2, +10 ед.

► Введем следующие векторы: вектор выпуска продукции и вектор расхода сырья . Тогда суммарный расход сырья есть скалярное произведение векторов и : (кг).

Пусть - вектор изменения выпуска продукции. Найдем изменение суммарного расхода сырья , используя свойства скалярного произведения векторов: .

Итак, (кг).◄