![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Типовые примеры. 1.Векторы образуют ортонормированный базис в унитарном пространстве
1. Векторы
► В рассматриваемом случае в соответствии со свойствами скалярного произведения в унитарном пространстве можно записать 2. В унитарном пространстве со скалярным произведением вида
► Сначала проведём процедуру ортогонализации. В данном случае она аналогична описанной для евклидова пространства. Положим
Используя условия ортогональности, получим
Теперь отнормируем векторы
§5. Определение линейного оператора. Матрица линейного оператора.
1. Отображение 1) 2) Заметим, что линейный оператор отображает нулевой вектор в нулевой вектор. По свойству линейности, Любая матрица размера Представим вектор x в виде
Замечание. Рассмотрим линейный оператор, отображающий векторы в пространстве
2. Построение матрицы линейного оператора. Пусть отображение задано с помощью формулы то есть для координат произвольного исходного вектора определены координаты его образа. Тогда, рассматривая вместо произвольного вектора x вектор Пример. Пусть оператор задан с помощью формулы:
► Прежде всего, докажем, что это отображение – действительно линейный оператор. Отобразим сумму векторов:
Аналогично для умножения на константу: Для того чтобы найти матрицу этого линейного оператора, нужно, как было сказано выше, подставить значения x1=1, x2=0, а затем x1=0, x2=1. В этом примере образы базисных векторов – соответственно (3, 1) и (2, -1). Поэтому матрица линейного оператора будет иметь вид:
Пример. ► Построим матрицу оператора. Отображая вектор (1, 0, 0), получаем (1, 4, -1), соответственно (0, 1, 0) переходит в (2, 1, -2), а вектор (0, 0, 1) – в (-1, 1, 3). Матрица линейного оператора:
Если задана система Матрицу этого оператора можно найти двумя способами: с помощью обратной матрицы и с помощью системы уравнений. Пусть Пример. Найти матрицу линейного оператора, отображающего базис ► Здесь
Проверка осуществляется умножением получившейся матрицы на каждый вектор: Пример. Линейными операторами являются как правое, так и левое векторное умножение на фиксированный вектор в трёхмерном пространстве, то есть отображения вида ► Построим матрицу одного из этих операторов, Аналогично,
Координаты полученных векторов запишем в виде столбцов матрицы оператора. Матрица оператора: Аналогично можно построить матрицу линейного оператора
Пример. Линейный оператор дифференцирования в пространстве всех многочленов степени не более n. Это пространство размерности n+1. Возьмём в качестве базиса элементы ► Матрица этого линейного оператора:
3. Сумма, произведение линейных операторов. Для любых двух линейных операторов Для всякого линейного оператора Для линейных операторов
|