Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Типовые примеры. 1. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа и записать соответствующее преобразование⇐ ПредыдущаяСтр 19 из 19
1. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа и записать соответствующее преобразование . ► Следуя алгоритму метода Лагранжа, выделим вначале в квадратичной форме все члены, содержащие , и дополним их до полного квадрата: . Сделаем в этом выражении замену и подставим его в квадратичную форму. Получим: . Далее выделим в члены, содержащие и проделаем с ними аналогичную процедуру: Если положить , то квадратичная форма уже не будет содержать смешанных произведений. Примем также , тогда канонический вид квадратичной формы есть . Соответствующее преобразование от переменных к переменным имеет вид: .◄ 2. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду, и записать соответствующий канонический вид этой формы: . ► В исходном базисе матрица оператора, соответствующая данной квадратичной форме, есть . Эта матрица будет определять квадратичную форму канонического вида в ортонормированном базисе , составленном из собственных векторов матрицы . Найдем их. Характеристическое уравнение для матрицы имеет вид . Откуда следует и . Как известно собственные векторы матрицы находятся из уравнений . Для случая имеем: . Ранг матрицы этой системы уравнений (относительно ) равен 1. Следовательно, ФСР системы состоит из двух линейно независимых решений. Как видно из данной системы, величина принимает произвольные значения, а величины связаны соотношением . В качестве собственных можно выбрать, например, векторы Эти векторы ортогональны: (если бы они оказались не ортогональными, то их нужно было бы ортогонализировать с помощью стандартной процедуры). Вектор к тому же и нормирован. Откуда следует - . Нормируем теперь вектор : . Для случая уравнение, определяющее собственный вектор есть . Ранг матрицы этой системы уравнений равен 2. Следовательно она имеет одно линейно независимое решение, например, Отнормируем этот вектор: . Теперь можно составить искомую матрицу ортогонального преобразования: . Исходная квадратичная форма будет иметь следующий канонический вид . При этом переменные связаны с переменными соотношением или .◄ 3. Привести к главным осям квадратичную форму третьего порядка. . ► Построим матрицу этой квадратичной формы: Найдём собственные числа и векторы: . Простому корню 0 соответствует собственный вектор , кратному корню 3 соответствуют два собственных вектора: , . Запишем матрицу перехода, предварительно поделив каждый вектор на его модуль. , а квадратичная форма имеет вид: .◄
4. (с дробными коэффициентами квадратичной формы). Привести к главным осям квадратичную форму третьего порядка. . ► Сначала построим матрицу квадратичной формы. Найдём 3 собственных числа. λ = 1, -1, -2. Затем для каждого собственного числа найдём собственный вектор и нормируем его. λ =1 x= λ =-1 x= . λ =-2 x= Квадратичная форма в новом базисе: = .◄ 5. Построить в прямоугольной системе координат фигуру, определяемую следующим уравнением, предварительно приведя его к каноническому виду . ► Выделим в этом выражении квадратичную форму . Это три первых слагаемых уравнения . Матрица квадратичной формы равна . Проведём процедуру приведения квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования. Характеристическое уравнение матрицы имеет вид . Его корни таковы: . Найдём теперь собственные векторы, соответствующие этим корням и ортонормируем их. Для вектора , соответствующего , имеем В итоге собственный вектор, соответствующий , можно выбрать в виде . Аналогичная процедура для собственного вектора даёт: Откуда: . После нормировки полученных векторов имеем: . Эти векторы представляют собой ортонормированный базис новой системы координат. Матрица ортогонального оператора, приводящего квадратичную форму к каноническому виду , есть Связь старых и новых координат определяется соотношением . Учитывая приведенные выражения, приведём заданную квадратичную форму к каноническому виду . Это есть каноническое уравнение эллипса в системе координат , которая получается из исходной её поворотом на угол и переносом начала координат в точку .◄
|