![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Типовые примеры. 1. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа и записать соответствующее преобразование⇐ ПредыдущаяСтр 19 из 19
1. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа и записать соответствующее преобразование
► Следуя алгоритму метода Лагранжа, выделим вначале в квадратичной форме все члены, содержащие
Сделаем в этом выражении замену
Далее выделим в Если положить канонический вид квадратичной формы есть
Соответствующее преобразование от переменных
2. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду, и записать соответствующий канонический вид этой формы:
► В исходном базисе
Эта матрица будет определять квадратичную форму канонического вида в ортонормированном базисе
Откуда следует
Как известно собственные векторы матрицы находятся из уравнений
Для случая
Ранг матрицы этой системы уравнений (относительно Как видно из данной системы, величина Эти векторы ортогональны:
Для случая
Ранг матрицы этой системы уравнений равен 2. Следовательно она имеет одно линейно независимое решение, например, Теперь можно составить искомую матрицу ортогонального преобразования:
Исходная квадратичная форма будет иметь следующий канонический вид
При этом переменные
3. Привести к главным осям квадратичную форму третьего порядка.
► Построим матрицу этой квадратичной формы: Найдём собственные числа и векторы:
а квадратичная форма имеет вид:
4. (с дробными коэффициентами квадратичной формы). Привести к главным осям квадратичную форму третьего порядка.
► Сначала построим матрицу квадратичной формы. Найдём 3 собственных числа. λ = 1, -1, -2. Затем для каждого собственного числа найдём собственный вектор и нормируем его. λ =1 x= λ =-1 x= λ =-2 x= Квадратичная форма в новом базисе: 5. Построить в прямоугольной системе координат фигуру, определяемую следующим уравнением, предварительно приведя его к каноническому виду
► Выделим в этом выражении квадратичную форму Матрица квадратичной формы равна
Его корни таковы: В итоге собственный вектор, соответствующий
Аналогичная процедура для собственного вектора Откуда:
После нормировки полученных векторов имеем:
Эти векторы представляют собой ортонормированный базис новой системы координат. Матрица ортогонального оператора, приводящего квадратичную форму Связь старых Учитывая приведенные выражения, приведём заданную квадратичную форму к каноническому виду
|