![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Неметрическая модель
Это основной вариант многомерного шкалирования, применяемый в настоящее время. Он лежит в основе всех остальных вариантов метода. Исходные данные для этого метода — матрица размерностью Р х Р, каждый элемент которой — мера (оценка) различия между двумя объектами из Р. Рассмотрим кратко основные математико-статистические идеи метода, необходимые для его использования на практике. Многомерное шкалирование и исторически, как новый шаг в математике, и процессуально — как последовательность обработки данных компьютерной программой, начинается с метрического шкалирования, предложенного в 50-х годах У. Торгерсоном. В модели Торгерсона вводится жесткое предположение о том, что оценки различия между объектами равны линейному расстоянию между ними в евклидовом пространстве. Пусть
Торгерсон показал, что при соблюдении этого условия возможен переход от исходной матрицы различий между стимулами к их координатам в пространстве К признаков. Для этого необходимо прежде всего пересчитать исходную матрицу различий в матрицу «скалярных произведений» — путем двойного центрирования, чтобы среднее значение элементов каждой строки и каждого столбца было равно 0. Элементы такой матрицы обозначим как
где X — матрица координат стимулов, размерностью Р х К. Это уравнение аналогично главному уравнению факторного анализа, и решается оно относительно Х методом главных компонент с заданным числом К. В современных алгоритмах МШ метод Торгерсона используется на этапе предварительной оценки координат объектов по матрице исходных различий. Далее следует неметрический этап, соответствующий неметричности исходных данных. На этом этапе исходят из требования соответствия рангового порядка расстояний между объектами в результирующем пространстве ранговому порядку исходных различий, то есть, используя принятые обозначения:
Основной мерой выполнения этого требования является специальный показатель, который называется стресс — мера отклонения итоговой конфигурации объектов от исходных оценок различия в смысле указанного требования рангового соответствия. Иногда дополнительно применяют коэффициент отчуждения тоже как меру подгонки неметрической модели к данным о различии. Не рассматривая подробно вычислительные проблемы многомерного шкалирования, укажем, что его алгоритм направлен на нахождение оценок координат объектов, минимизирующих значение стресса. Построен этот алгоритм как градиентная процедура. Первый шаг алгоритма — получение стартовой конфигурации, как правило, методом Торгерсона. На каждом последующем шаге, или итерации, координаты стимулов изменяются в сторону уменьшения значения стресса, вычисленного на предыдущем этапе. Итерации повторяются многократно, до выполнения одного из трех заданных изначально условий (в программе SPSS): достижения минимального значения стресса; достижения минимальной разницы между последним и предыдущим значениями стресса; выполнения максимального заданного числа итераций. Каждое из трех условий задано в программе «по умолчанию», но может изменяться пользователем. Уменьшая пороговые величины стресса и его изменения, увеличивая максимальное число итераций, пользователь может добиться повышения точности окончательного решения. Показателем точности является конечная величина стресса. Наиболее приемлемые величины стресса находятся в диапазоне от 0, 05 до 0, 2. Одна из основных проблем, возникающих перед исследователем в МШ— это проблема размерности К. Как и при проведении факторного анализа, в МШ требуется предварительное определение числа шкал. Поэтому от исследователя требуется получить несколько решений в пространствах разной размерности и выбрать из них лучшее. Один из критериев размерности, применяемый для предварительной оценки числа шкал, аналогичен критерию отсеивания Кеттелла в факторном анализе: строится график зависимости стресса от числа шкал по результатам решения в разных размерностях. Истинная размерность соответствует точке перегиба графика после резкого его спада. Другой критерий числа шкал — абсолютная величина стресса. Если решение одномерно, то приемлемая величина стресса — менее 0, 1. Если решение размерностью 2 и выше, то приемлемы значения стресса, меньшие 0, 1-0, 15. Однако если уровень ошибок измерения или выборки высок, то можно признать решение и с более высокими значениями стресса. Дополнительно вычисляется величина R2 (RSQ), которая показывает долю дисперсии исходных различий (от единичной), учтенную выделенными шкалами. Чем ближе RSQ к единице, тем полнее данные шкалы воспроизводят исходные различия между объектами. Окончательный выбор размерности решения определяется на основе критериев интерпретируемости и воспроизводимости, так же, как в факторном анализе. Тем не менее, при размерности 2 и выше, следует избегать решений с величиной стресса выше 0, 2. Обычный путь для этого — повышение размерности и исключение объектов. Результаты применения метода — таблица координат объектов в пространстве шкал-признаков, величины стресса и RSQ, интерпретация шкал и взаимного расположения объектов по таблице координат.
ПРИМЕР 18.1 Исследовалась структура представлений студента о многомерных методах, применяемых в психологии. Студенту было предложено сравнить попарно по степени различия пять методов: множественный регрессионный анализ (МРА), дискриминантный анализ (ДА), кластерный анализ (КА), факторный анализ (ФА) и многомерное шкалирование (МШ). При сравнении было предложено использовать 5-балльную шкалу (1 — очень похожи, 5 — совсем разные). Результаты сравнения приведены в табл. 18.4. Таблица 18.4
|