Определённый интеграл.

Пусть функция определена на отрезке . Разобьём этот отрезок на n произвольных частей точками .

Рис. 2

В каждом из полученных частичных отрезков выберем произвольную точку и составим сумму:

,

где . Эта сумма называется интегральной суммой для функции на . Обозначим (т.е. длина наибольшего частичного отрезка).

Если существует конечный предел I интегральной суммы s при (), то этот предел называется определённым интегралом от функции по и обозначается

.

В этом случае называется интегрируемой на . Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределом интегрирования.

Основные свойства определённого интеграла.

1. .

2. .

3. .

4. , .

5. .

6. , где .

7. Если при , то .

8. Если при , то .

9. Если функция непрерывна на отрезке , то найдется такая точка , такая, что . Число называется средним значением функции на отрезке .

10. , при .

11. .

Основные методы интегрирования.

Формула Ньютона-Лейбница. Если функция определена и непрерывна на отрезке , а – какая-либо её первообразная, т.е. , то

. (1.3)

Формула интегрирования по частям. Если и – непрерывно интегрируемы на функции, то

. (1.4)

Замена переменной. Если функция непрерывна на отрезке , – непрерывно дифференцируемая функция на , где , и определена и непрерывна на , то

. (1.5)

Определённый интеграл применяют для вычисления площади криволинейной трапеции. Если криволинейная трапеция ограничена сверху графиком функции , слева и справа – прямыми и , снизу – осью Ох, то площадь вычисляется по формуле

. (1.6)

Площадь криволинейной фигуры, ограниченной сверху графиком функции , снизу – графиком функции , слева и справа – прямыми и , вычисляется по формуле

. (1.7)

Определенный интеграл с бесконечным пределом интегрирования называется несобственным интегралом. Пусть функция непрерывна на интервале , тогда несобственный интеграл имеет вид:

. (1.8)

К несобственным относятся так же и интегралы

и .

Систему MathCad можно использовать и для нахождения определённого интеграла. Для этого нужно ввести символ определённого интеграла с панели Calculus (вычисления) с несколькими местозаменителями, в которые нужно ввести нижний и верхний пределы интегрирования, подынтегральную функцию и переменную интегрирования. Чтобы получить результат интегрирования, следует ввести знак равенства для получения ответа в виде десятичной дроби (Рис.3 а) или символьного равенства для получения точного ответа (Рис.3 б).

Рис. 3 Пример вычисления определённого интеграла в системе MathCad