Дифференциальные уравнения первого порядка.

Уравнение вида , где – независимая переменная, – искомая функция, – её производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция, которая при подстановке в уравнение превращает его в тождество.

Условие, что при функция называется начальным условием.

Функция, , содержащая одну произвольную постоянную называется общим решением. Функция , полученная из общего решения и удовлетворяющая начальному условию, называется частным решением.

Рассмотрим методы интегрирования некоторых уравнений первого порядка.

Уравнение с разделяющимися переменными – это уравнение вида:

, (2.1)

где , , и – известные функции, зависящие только от или .

Если ни одна из этих функций не равна тождественно нулю, то разделив уравнение (2.1) на , получим уравнение с разделенными переменными:

. (2.2)

Проинтегрировав это уравнение, получим общее решение исходного уравнения:

. (2.3)

Уравнение сводится к уравнению с разделенными переменными. Учитывая, что , получим уравнение вида:

. (2.4)

Линейное уравнение – это уравнение вида:

, (2.5)

где и – заданные функции.

Для решения его рассмотрим метод Бернулли. Выполним подстановку , где и – две неизвестные функции, причем одна из которых произвольная. Тогда уравнение (2.5) сводится у виду

или . (2.6)

Предполагая, что – произвольная функция, найдем одно из ее решений из уравнения , например,

. (2.7)

Тогда уравнение (2.6) сведется к виду:

или , т.е. . (2.8)

Решая уравнение (2.8), получим:

. (2.9)

Общее решение исходного уравнения находится умножением на :

. (2.10)