Дифференциальные уравнения второго порядка.

Общий вид уравнения второго порядка: .

Начальные условия принимают вид: и .

Общим решением является функция , содержащая две произвольных постоянных и . Частным решением называется функция , полученное из общего решения, удовлетворяющее начальным условиям.

Рассмотрим только некоторые уравнения второго порядка.

Уравнения вида . Решение этого уравнения находится 2-кратным интегрированием, а именно: ,

, . (2.11)

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Это уравнения вида:

, (2.12)

где и – некоторые действительные числа.

Общим решением является функция , где и – частные решения уравнения (2.12). Для их определения решаем характеристическое уравнение

. (2.13)

Пусть и – корни уравнения (2.13), тогда возможны следующие случаи:

1) если и – действительные числа, причем , тогда:

и ; (2.14)

2) если и – действительные числа, и , тогда:

и ; (2.15)

3) если и – комплексные числа, т.е. , тогда:

и . (2.16)

Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения имеют вид:

, где – заданная функция. (2.17)

Структура общего решения уравнения (2.17) определяется следующим образом:

, (2.18)

где – общее решение однородного уравнения (2.12), которые определяются по формулам (2.14)–(2.16), а – частное решение уравнения (2.17).

Метод нахождения частного решения зависит от функции . Остановимся только на случае, когда – функция специального вида.

1) Пусть , где – действительное число, а – многочлен степени . Частное решение ищем в виде

, (2.19)

где – число, равное кратности как корня характеристического уравнения (2.13), а – многочлен степени с неопределенными коэффициентами .

Для определения этих коэффициентов, подставим в уравнение (2.17), сократим на . Получим слева многочлен степени с неопределенными коэффициентами , справа – многочлен степени , но с известными коэффициентами. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему алгебраических уравнений для определения коэффициентов .

2) Пусть , где , , и – действительные числа. Тогда частное решение ищем в виде

, (2.20)

где – число, равное кратности как корня характеристического уравнения (2.13), а и – неопределенные коэффициенты.

После подстановки в уравнение (2.17) и сократив на , приравниваем коэффициенты, стоящие перед одноименными тригонометрическими функциями в левой и правой части уравнения.

Замечание: форма (2.20) частного решения сохраняется и в случаях, когда или .