Лабораторная работа. Тема: Различные уравнения прямой линии на плоскости и в пространстве

Тема: Различные уравнения прямой линии на плоскости и в пространстве

Цели: 1. Рассматривая разные способы задания прямой, получить всевозможные уравнения прямой в двух ситуациях: а) прямая лежит в плоскости, б) прямая расположена в пространстве;

2. Запомнить все уравнения прямой линии на плоскости и в пространстве и геометрический смысл параметров каждого уравнения;

3. Уметь составить уравнение прямой по элементам, которые эту прямую однозначно определяют;

4. Научиться докладывать и оценивать результаты своей работы.Выполнение лабораторной работы основано на следующей опорной базе теоретических знаний.

1. Понятие характеристического свойства точек заданной геометрической фигуры.

Характеристическим свойством точек геометрической фигуры называют то свойство, которому удовлетворяют точки данной фигуры и не удовлетворяют точки плоскости (пространства), которые ей не принадлежат. Так например, характеристическим свойством точек окружности является их удаленность от центра на одно и тоже расстояние.

2. Определение уравнения геометрической фигуры:

а) в некоторой системе координат,

б) в инвариантной, векторной, форме.

Напомним оба эти понятия.

Уравнением (уравнениями) множества точек на плоскости относительно заданной системы координатназывается уравнение (или система уравнений, а также неравенство или система неравенств), которому (которым) удовлетворяют координаты любой точки данного множества и не удовлетворяют координаты точек, этому множеству не принадлежащих.

Согласно определению уравнение прямой линии должно связывать координаты (x, y) произвольной точки прямой с координатами точек или векторов, которые эту прямую определяют.

Векторным уравнением множества точек на плоскости или в пространстве называется уравнение, связывающее радиус-векторы точек заданного множества, которому не удовлетворяют радиус-векторы точек, не принадлежащих этому множеству.

Понятие уравнения пространственной геометрической фигуры относительно заданной системы координат ничем не отличается от сформулированного.

3. Условие коллинеарности двух векторов.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой, либо на параллельных прямых.

Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов выражено в следующей теореме:

Теорема. Вектор b коллинеарен ненулевому вектору a тогда и только тогда, когда существует вещественное число l такое, что b = l a.

4. Условие принадлежности трех точек одной прямой вытекат из

условия коллинеарности двух векторов.

Точки А, В, С принадлежат одной прямой тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны, то есть когда существует вещественное число l такое что .

5. Способы задания прямой линии на плоскости.

Дадим некоторые определения.

Определение. Любой ненулевой вектор, параллельный заданной прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Определение. Любой ненулевой вектор, перпендикулярный заданной прямой, называется нормальным вектором этой прямой.

Из школьного курса известно, что

1. Через две точки проходит единственная прямая;

2. Через точку, лежащую вне прямой можно провести прямую и притом только одну.

3. Через точку в плоскости можно провести только один перпендикуляр к данной прямой.

Из этих утверждений вытекают три способа задания прямой линии на плоскости.

1. Точкой и направляющим вектором (см. рис.1);

2. Двумя точками (см. рис.2);

3. Точкой и нормальным вектором (см. рис.3).