Решение систем линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными:

Введем матрицы: , , . Используя эти матрицы, запишем систему уравнений в виде матричного уравнения

.

Если матрица системы А невырожденная, то для нее существует обратная матрица . Умножая тогда обе части этого уравнения слева на , получаем решение этого матричного уравнения (неизвестную матрицу ): .

Таким образом, если матрица А системы невырожденная, т.е. существует , то решение системы линейных уравнений можно найти по формуле

.

Пример. Средствами матричного исчисления решить систему линейных уравнений

◄ Матрица системы . Вычисляем ее определитель разложением по первой строке: . Из следует, что матрица невырожденная и обратная для нее существует.

Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы А:

, , ,

, , ,

, , .

Имеем

.

Тогда . Следовательно, решение системы . ►