Комплексные числа

Число называется мнимой единицей. Можно рассматривать мнимую единицу как формальный объект, который имеет следующее свойство:

Комплексные числа - это пара действительных чисел с заданными определенным образом операциями умножения и сложения. Комплексное число записывают как

Число называется действительной частью числа , а число — мнимой частью числа . Их обозначают и соответственно:

Таким образом, комплексное число задается двумя действительными числами. Если интерпретировать эти числа как декартовы координаты, то получим естественное соответствие комплексных чисел и точек на плоскости.

Если в случае действительных чисел мы имели числовую прямую, то в случае комплексных чисел получаем числовую плоскость, которая называется комплексной плоскостью.

Пусть Тогда число называется комплексно-сопряженным или просто сопряженным к числу .

Модулем комплексного числа называется число - длина отрезка на комплексной плоскости.

Модуль комплексного числа есть неотрицательное действительное число. Модуль равен нулю тогда и только тогда, когда само число равно нулю.

Модуль произведения комплексных чисел равен произведению их модулей.

Аргумент комплексного числа - это угол между осью OX и вектором OP, изображающим это комплексное число. Отсюда, tan = b / a.

Тригонометрическая форма комплексного числа. Абсциссу a и ординату b комплексного числа a + bi можно выразить через его модуль r и аргумент :