Уравнение линии на плоскости

Геометрия представляет собой математическую модель, воспроизводящую отношения между объектами, которые могут быть в том или ином смысле отождествлены с точками. В аналитической геометрии точка определяется ее координатами в некоторой системе отсчета и, следовательно, геометрические отношения записываются в виде соотношений между координатами (уравнений, неравенств, систем уравнений или неравенств и др.). Далее, если не оговорено особо, применяется декартова прямоугольная система координат.

На плоскости каждая ее точка (рис. 5.1) представляется двумя координатами: абсциссой и ординатой (записывается ).

Расстояние между точками плоскости и

; (5.1)

координаты середины отрезка (точки ) (рис.5.2):

. (5.2)

Уравнение вида

или , (5.3)

связывающее координаты и точек плоскости, называется уравнением линии , если:

a) координаты каждой точки линии удовлетворяют этому уравнению (рис. 5.3);

b) координаты любой точки, не лежащей на линии , неудовлетворяют этому уравнению.

Уравнение (5.3) в общем случае задает на плоскости некоторое точечное множество, которое может быть и не линией на плоскости.

Плоскую линию можно задать также двумя уравнениями

, (5.4)

где – переменный параметр (параметрическое задание линии).

Значения координат и , которые удовлетворяют системе уравнений двух кривых

определяют точку пересечения этих кривых. Число точек пересечения равно числу решений этой системы. Если система не имеет решений, то линии не пересекаются.