Элементы и множества

Понятие множества принадлежит к числу фундаментальных неопределяемых по­нятий математики. Можно сказать, что множество — это любая определенная со­вокупность объектов. Объекты, из которых составлено множество, называются его элементами. Элементы множества различны и отличны друг от друга.

Примеры. Множество S страниц в данной книге. Множество N натуральных чисел 1, 2, 3,....Множество Р простых чисел 2, 3, 5, 7, 11,...

Если объект х является элементом множества М, то говорят, что х принадле­жит М. Обозначение: х ϵ М. В противном случае говорят, что х не принадле­жит М. Обозначение: х М.

Множества, как объекты, могут быть элементами других множеств. Множество, элементами которого являются множества, обычно называется классом или семейством.

Обычно в конкретных рассуждениях элементы всех множеств берутся из некоторого одного, достаточно широкого множества U (своего для каждого случая), которое называется универсальным множеством, или универсумом.

Из соображений формального удобства вводят еще так называемое " пустое множество", а именно, множество, не содержащее ни одного элемента. Его обозначают Ø, иногда символом 0 (совпадение с обозначением числа нуль не ведет к путанице, так как смысл символа каждый раз ясен).

Обозначим множество n первых натуральных чисел через J_n = {1, 2,..., n}. Множество X называется конечным, если оно эквивалентно J_n при некоторомn. Число n называется количеством, или числом, элементов множества X. Для конечного множества X через |Х| обозначим число элементов этого множества, т.е. |Х| = n. Пустое множество считается конечным с числом элементов равным нулю, т. е. |Ø | =0. Множества, не являющиеся конечными, называются бесконечными.

Если каждый элемент множества A входит во множество B, то A называется подмножеством B, а B называется надмножеством A. ПишутA B, B A (A входит в B или A содержится в B, B содержит A). Очевидно, что если A B, и B A, то A = B. Пустое множество по определению считается подмножеством любого множества.

Если каждый элемент множества A входит в B, но множество B содержит хотя бы один элемент, не входящий в A, т. е. если A B, иA≠ B, то A называется собственным подмножеством B, а B - собственным надмножеством A. В этом случае пишут A B, B A. Например, запись А≠ 0 и А 0 означают одно и то же, а именно, что множество A не пусто.

Заметим еще, что надо различать элемент a и множество {a}, содержащее a в качестве единственного элемента. Такое различие диктуется не только тем, что элемент и множество играют неодинаковую роль (отношение не симметрично), но и необходимостью избежать противоречия. Так, пусть A = {a, b} содержит два элемента. Рассмотрим множество {A}, содержащее своим единственным элементом множество A. Тогда A содержит два элемента, в то время как {A} - лишь один элемент, и потому отождествление этих двух множеств невозможно. Поэтому рекомендуется применять запись а ϵ А, и не пользоваться записью a A.