Глава 3. Упорядоченные множества

Кортеж

Пусть А и В — произвольные множества. Упорядоченная пара на множествах А и В, обозначаемая записью < a, b>, определяется не только самими элементами а А и b В, но и порядком, в котором они записаны. И в этом состоит ее существенное отличие от неупорядоченной пары. Если А = B, то говорят об упорядоченной паре на множестве А.

Две упорядоченные пары < a, b> и < c, d> на множествах А и В называют равными, если а = c и b = d.

Упорядоченную пару < a, b> не следует связывать с множеством {а, b}, так как упорядоченная пара характеризуется не только составом, но и порядком элементов в ней. Более того, определение этого объекта вообще не позволяет рассматривать его как множество. Но упорядоченную пару можно определить и как множество, полагая, что упорядоченная пара < а, b> есть неупорядоченная пара {{а}, {а, b}}, включающая в себя одноэлементное множество {а} и неупорядоченную пару {а, b}. При а = b получаем < a, a> = {{а}}. Такое определение не изменит сути понятия, но тогда следует не определять явно равенство упорядоченных пар, а доказывать теорему о равенстве упорядоченных пар как определенного вида множеств.

Обобщением понятия упорядоченной пары является упорядоченный n-набор, или кортеж. В отличие от конечного множества {a₁,..., a_n} кортеж < a₁,..., а_n> на множествах А₁,..., А_n характеризуется не только входящими в него элементами a₁ А₁,..., а_n А_n, но и порядком, в котором они перечисляются.

Два кортежа α =< a₁,..., а_n> и β =< b₁,..., b_n> на множествах А₁,..., А_n равны, если a_i=b_i, i= .

Число n называется длиной кортежа (или размерностью кортежа), а элемент а_i — i -й проекцией (компонентой) кортежа. Для двух кортежей одинаковой размерности их компоненты с одинаковыми номерами называют одноименными компонентами. Определение равенства кортежей можно переформулировать так: два кортежа одинаковой размерности равны тогда и только тогда, когда их одноименные компоненты совпадают. В отличие от множества, кортеж может иметь повторяющиеся элементы, но все эти элементы различны. Компоненты кортежа могут обозначать любые понятия, объекты, в том числе элементы множества или кортежа.

Простейшим примером кортежа является арифметический вектор.

Кортеж, который не содержит компонентов в своем составе, называется пустым кортежем и обозначается α =< >. Длина этого кортежа равна нулю.

Для любых кортежей α, β, γ справедливы утверждения:

· Если α =β, то β =α

· Если α =β и β = γ, то α = γ