Операция проекции

Операция проектирования унарна. Она применима не к двум множествам, а к одному. Кроме этого, операция проектирования применима только к множеству кортежей одинаковой длины. Проекция множеств определяется через проекцию кортежей.

Определим понятие проекции кортежей.

Пусть задан кортеж α = < а₁, а₂, …, а_s> длины s.

1) Пусть 1 ≤ i≤ s. Тогда проекцией кортежа α на i -тую ось называется i -тая компонента кортежа α.

2) Пусть задано произвольное число q, такое, что 2 ≤ q ≤ s. И пусть задано число осей 1≤ i₁ ≤ i₂ ≤...≤ i_q ≤ s. Тогда проекцией кортежа α на оси с номерами i₁, i₂,..., i_q называется кортеж < а_i1, а_i2, …, а_iq>, который обозначается следующим образом: пр_{i1, i2, …, iq}α = < а_i1, а_i2, …, а_iq>.

3) Проекцией кортежа а на пустое множество осей называется пустой кортеж. Аналогично проекцией пустого кортежа на пустое множество осей называется пустой кортеж.

Пример. Пусть задан кортеж α = < 12, 15, 6, 8 >, пр_i1 α = < 12>, пр_i2 α = < 15>, пр_i3 α = < 6>, пр_i4 α = < 8>, пр_{i1, i2} α = < 12, 15>, пр_{i1, i4} α = < 12, 8>, пр_{i5, i8} α = < >.

Определим понятие проекции множества. Как отмечено это понятие будет определено только для случая, когда проектируемое множество состоит из кортежей, причем все кортежи имеют одинаковую длину.

Проекция множества М — это множество проекций кортежей из М.

Пусть задано множество кортежей М длины s, s> 0.

1) Пусть 1 ≤ i≤ s, тогда проекцией множества М на i -тую ось называется множество проекций кортежей из М на i -тую ось и обозначается: пр_iM.

2) Пусть задано произвольное число q, такое, что 2 ≤ q ≤ s, и задано число осей 1≤ i₁ ≤ i₂ ≤...≤ i_q ≤ s. Тогда проекцией множества М на оси с номерами i₁, i₂,..., i_q называется множество проекций кортежей из М на оси с номерами i₁, i₂,..., i_q.

3) Проекцией множества М на пустое множество осей называется множество проекций кортежей из М на пустое множество: пр_Ø М.

Пример. Пусть М = { < 1, 2, 3, 4, 5 >, < 2, 1, 3, 5, 5 >, < 3, 3, 3, 3, 3> < 3, 2, 3, 4, 3> < а, b, а, 1, а> }. Тогда пр₂М = { 2, 1, 3, 2, b }, пр_{2, 4}М = { < 2, 4>, < 1, 5>, < 3, 3>, < 2, 4>, < b, 1> }, пр₆₇М = Ø.

Пусть М — произвольное множество, длина которого s, s≥ 2. Тогда множество M^s состоит из кортежей длины s и значит, его можно проектировать. Операция проектирования множества основана на описанных правилах построения проекций кортежей и множеств. Для любого натурального числа 1 ≤ i ≤ sпроекция пp_iM^s= М.

Согласно определению операции проектирования, можно сказать, что для произвольного кортежа < х, у> истинны следующие высказывания:

< х, у> А x пр₁A & y пр₂A,

х пр₁A y пр₂A < х, у> А.

Приведем основные свойства операции проектирования:

Пусть A X× Y, B X× Y, тогда для любых x X и у Y ( x X & y Y)

·

·

·

·

·

·

·

В то же время в общем случае ложными являются следующие высказывания:

·

·

·

·

Некоторые из перечисленных высказываний следуют из определения прямого произведения. Для доказательства других свойств необходимо использовать методы доказательств тождеств с множествами.

Рассмотрим операции над кортежами: инверсия и композиция.

1) Инверсия.

Инверсия кортежа определяется следующим образом. Пара < c, d> называется инверсией пары < a, b>, если c=b& d=a. Инверсия пары α обозначается α ^-1

Пример. α = < а, b>, тогда α ^-1= < b, а>. (α ^-1)^-1= α, ((α ^-1)^-1)^-1= α ^-1. Тогда α ^-n= α и α ^-(n-1)=α ^-1, при четном n.

2) Композиция.

Кортеж α = < х, у> называется композицией двух кортежей β = < х, z> и γ = < z, у> и записывается α = β ·γ. Операция композиции справедлива, когда вторая компонента кортежа β совпадает с первой компонентой кортежа γ. Здесь как бы происходит " склеивание" двух кортежей по компоненте z.