![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Отображения множеств
Пусть X и Y — два непустых множества. Отображением f: X → Y (множества X во множество Y) называется тройка (X, Y, f). Здесь X, Y — два непустых множества, f – правило, сопоставляющее каждому элементу х ϵ X однозначно определенный элемент у = f(x) ϵ Y. Множество X называется областью определения отображения, элемент х ϵ X – аргументом отображения f, элемент f(x) ϵ Y – образом элемента х при отображении f. При этом пишут х → f(x). Часто, в случае когда множества X, Y –числовые, отображение называют функцией. Если только множество Y – числовое, то отображение называют функционалом. Если А Пример. Пусть X = Y = {1, 2, 3}. Отображение f: X → Y задано следующим образом: f(1)=1; f(2)=1; f(3)=2. Тогда f(X) = {1, 2}. У элемента 1 ϵ Y два прообраза — 1 и 2; у элемента 2 ϵ У один прообраз — 3; у элемента 3 ϵ Y прообразов нет. Отображение f: X → Y называется сюръективным (или отображением «на»), если f (X) = Y, т. е. для каждого элемента из Y есть прообраз. Отображение f: X→ Y называется инъективным (или отображением «в»), если из f(x) = f(x1) следует, что х = x1, т. е. для каждого элемента Y имеется не более одного прообраза. Отображение f: X → Y называется биективным (или взаимно-однозначным), если это отображение одновременно и сюръективно, и инъективно, т. е. это отображение «на» и каждый элемент множества Y имеет ровно один прообраз. (Одно и то же правило соответствия может быть сюръективным, инъективным или биективным отображением в зависимости от исходных множеств X и У.) Пример. Обозначим через R+ = {х ϵ R: х ≥ 0}. Рассмотрим следующие три отображения: f: R→ R+ ; g: R+ → R; h: R+ → R+ ; Эти отображения зададим одной формулой: f(x) = x2; g(x) =x2; h(x) = x2. Они различны, так как различны исходные множества. При этом f является сюръективным, но не инъективным; g — инъективно, но не сюръективно; h — биективно.
Отображения вида f: X→ X называются преобразованиями множества X. Тождественным преобразованием данного множества X называется преобразование ех такое, что ех (х) = х, Пусть f: X → Y и g: Y → Z – некоторые отображения. Суперпозицией этих отображений называется отображение gf: X → Z, определяемое следующим образом: (gf)(x) = g(f(x)), x ϵ X. Заметим, что суперпозиция определена не для любых пар отображений. Однако суперпозиция двух преобразований одного и того же множества определена всегда. Пусть f: X → Y и g: Y → Х Отображение g называется обратным к отображению f (а отображение f обратным к g), если fg = еу; gf = ех. Если обратное отображение существует, то оно единственно. В самом деле, пусть f: X → Y — некоторое отображение множества X во множество Y и отображения g: Y → X и h: Y → X — отображения, обратные к f. Тогда (g(fh))(y) = (gеу)(у) = g(у) и ((gf)h)(y) = (ехh)(y) = h(y). Имеем g(fh) = (gf)h. Отсюда получаем g(у) = h(y), Обратное отображение обозначается f -1. Оно существует не всегда. Необходимое и достаточное условие существования обратного отображения дает следующая теорема. Теорема. Отображение f имеет обратное тогда и только тогда, когда оно биективно. Доказательство. Пусть f: X → Y. 1. Необходимость: Итак, пусть существует обратное отображение f -1 = g: Y → X. Рассмотрим любой у ϵ Y и х = g(у). Тогда f(x) = f(g(y)) = у и х – прообраз у при отображении f. Таким образом, любой у ϵ Y имеет прообраз x, т. е. f сюръективно. Далее, если x, х1ϵ X, причем f(x) = f (х1), то g(f(x)) = g(f(х1)). Следовательно, т. е. ех(x)=ех(х1), х = х1 и f инъективно. Отсюда f биективно, и необходимость доказана. 2. Достаточность: Пусть f биективно. Определим отображение g: Y → Х следующим образом. Положим g(у) = х, если f(x) = у. В силу биективности f отображение g определено на всем Y, и g = f -1.
|