Глава 5. Соответствия и функции

Основные понятия соответствия

Соответствием между множествами X и Y будем называть тройку объектов:

Г = (Х, Y, G), где X — область отправления соответствия, Y — область прибытия соответствия, G — график соответствия, причём G X × Y.

Существует три способа задания соответствия:

· Теоретический

· Матричный

· Графический

Теоретический способ заключается в задании графика соответствия и множеств X и Y. Для графика соответствия справедливо: G X × Y G=X × Y G X × Y.

При задании матричным способом соответствие представляется в виде матрицы R_Г, размером n× m, где строки представляют элементы множества Х, столбцы – элементы множества Y, а элемент матрицы r_ij принимает значения:

r_ij=1 – если существует кортеж < x_i, y_j> G;

r_ij=0, в противном случае.

Таким образом, соответствие можно представить в виде следующей матрицы:

R_Г=

Соответствие, заданное в графическом виде, представляет собой граф, вершинами которого являются элементы, принадлежащие множествам X и Y соответствия Г = (Х, Y, G), а кортежи вида < x_i, y_j> G представляются на графике соответствия в виде стрелок, направленных от x_i, к y_j:

Областью определения соответствия будем называть пр₁ G.

Областью значений соответствия будем называть пр₂ G.

Соответствие называется всюду определённым, если пр₁ G = X.

Соответствие называется сюръективным, если пр₂ G = Y.

Соответствие будем называть функциональным, или функцией, если его график не содержит пар с одинаковыми первыми и различными вторыми координатами.

Соответствие называется инъективным, если его график не содержит пар с одинаковыми вторыми и различными первыми координатами.

Соответствие называется отображениемX в Y, если оно всюду определено и функционально.

Соответствие называется отображениемX на Y, если оно всюду определено, функционально и сюръективно.

Соответствие называется взаимно однозначным, если оно функционально и инъективно.

Соответствие называется биекцией, если оно всюду определено, сюръективно, функционально и инъективно.

Образом множества А при данном соответствии называется множество Г(В) = {у|(х, у)ϵ G и хϵ А}.

Прообразом множества В при данном соответствии называется множество Г^-1 (В) = {х|(х, у)ϵ G и уϵ В}.

Множества называются равномощными, если между ними можно установить биекцию.

Множество называется счётным, если оно равномощно множеству натуральных чисел.

Множество называется континуальным, если оно равномощно множеству действительных чисел отрезка [0, 1].