Линейные САУ

2.1. Описание САУ линейными дифференциальными уравнениями

Среди задач теории автоматического управления присутствуют задачи, связанные с изучением динамики САУ и анализа её качества. Решение этих задач осуществляется с использованием описания реальной САУ её математической моделью, после чего проводят анализ процессов, протекающих в САУ на основе построенной математической модели. В ходе этого анализа исследуются показатели качества САУ, в число которых могут входить точность САУ, её устойчивость и быстродействие. Данные исследования могут выявить необходимость корректировки рассматриваемой САУ для того, чтобы она обеспечивала заданные показатели качества.

Наиболее часто для построения математических моделей САУ используют линейные дифференциальные уравнения. В связи с этим вводятся следующие определения.

Линейная САУ – система, которая может быть описана линейными дифференциальными уравнениями. В противном случае САУ называется нелинейной САУ.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение n -го порядка, связывающее входное воздействие САУ x(t), действующие на САУ возмущающие воздействия и её выходную величину y(t):

, (2.1)

где – внешние возмущающие воздействия, в число которых могут входить законы изменения во времени нагрузки, помехи и т.п.;

, , , j1=1…L; j2=0…k1, 0…k2, 0…kL – постоянные коэффициенты, называемые параметрами системы.

Дифференциальное уравнение (2.1) позволяет описать процессы в САУ вне зависимости от её физической природы, происходящие в ней под влиянием входного и возмущающих воздействий. Форма записи этого дифференциального уравнения достаточно громоздкая, неявная, не отражающая в явном виде физической сущности САУ. Поэтому для устранения этих недостатков уравнение (2.1) принято записывать с учётом следующих требований:

1) выходная величина и её производные записываются в левой части дифференциального уравнения, входная величина и все её производные – в правой части уравнения. При этом происходит устранение неявности в форме записи дифференциального уравнения (2.1);

2) все производные располагаются по порядку, начиная со старших;

3) уравнение (2.1) должно быть преобразовано таким образом, чтобы при выходной величине (производной нулевого порядка) был бы коэффициент, равный единице. При этом правая и левая части уравнения (2.1) приобретают размерность выходной величины, что выявляет физическую сущность САУ. Коэффициенты, входящие в уравнение (2.1), после данного преобразования приобретают физический смысл, отражающий статические и динамические свойства САУ.

Учитывая вышеперечисленные требования и разделив обе части уравнения (2.1) на C_n, преобразуем его к виду

, (2.2)

где , – постоянные коэффициенты, отражающие статические и динамические свойства САУ относительно выходной величины;

, i=0…m; , j1=1…L; j2=0…k1, 0…k2, 0…kL – коэффициенты, называемые коэффициентами преобразования.

Полученное таким образом дифференциальное уравнение (2.2) решается относительно выходной величины y(t). Решением линейного дифференциального уравнения (2.2) является функция y(t), соответствующая изменению выходной величины с течением времени. В общем случае y(t) определяется как

, (2.3)

где – свободная составляющая решения уравнения (2.2), зависящая от свойств рассматриваемой САУ и от начальных условий, которые в частном случае могут быть нулевыми:

(2.4)

– вынужденная составляющая решения уравнения (2.2), определяемая видом её правой части (т.е. входным и возмущаемыми воздействиями) и свойствами рассматриваемой САУ.

Свободная составляющая определяется из решения уравнения (2.2) при отсутствии правой части:

. (2.5)

В общем виде может быть записана как

, (2.6)

где – постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий (2.4);

– корни характеристического уравнения, которое путём замены , и т.д. получается из (2.5):

. (2.7)

После чего уравнение решается относительно s.

Вынужденная составляющая решения дифференциального уравнения (2.2) , как уже было сказано, определяется исходя из вида правой части уравнения (2.2). Но поскольку правая часть уравнения (2.2) имеет достаточно сложный характер, в данном случае для определения вынужденной составляющей уравнения (2.2) необходимо воспользоваться принципом суперпозиции, тогда может быть представлена в виде

, (2.8)

где – вынужденная составляющая решения уравнения (2.2), определяемая его правой частью, в которой присутствует только сигнал входного воздействия САУ x(t):

(2.9)

, i=1…L – вынужденная составляющая решения уравнения (2.2), определяемая его правой частью, в которой присутствует только i -е возмущающее воздействие:

(2.10)

2.2. Линеаризация дифференциальных уравнений САУ

В общем случае САУ должна быть представлена нелинейным дифференциальным уравнением вида

. (2.11)

Поскольку анализ процессов, протекающих в САУ, проводить на основе нелинейного дифференциального уравнения (2.11) затруднительно, путём введения дополнительных допущений производят его упрощение. При этом нелинейное дифференциальное уравнение (2.11) сводится к линейному дифференциальному уравнению вида (2.2), а сам процесс сведения нелинейного дифференциального уравнения к линейному называют линеаризацией.

Существуют два случая, когда линеаризация необходима:

1) когда имеется описание САУ с помощью нелинейного дифференциального уравнения (2.11) и необходимо на его основе получить линейное дифференциальное уравнение вида (2.2);

2) когда нет описания САУ и его необходимо получить в виде линейного дифференциального уравнения (2.2).

Линеаризацию нелинейной функции в окрестности точки (у₀, x₀) можно произвести с использованием ряда Тейлора:

. (2.12)

Предполагаем, что величина окрестности достаточно мала, в этом случае слагаемыми в уравнении (2.12), начиная со второго, можно пренебречь. Тогда (2.12) принимает следующий вид:

, (2.13)

что соответствует уравнению прямой линии. Если же нелинейная функция является функцией нескольких переменных, как, например, (2.11), тогда все входящие в выражение нелинейные функции линеаризуют вышеуказанным способом. В этом случае (2.11) преобразуется к виду

(2.14)

Особенность рассмотренного способа линеаризации в том, что линеаризованное уравнение (2.14), полученное из (2.11), справедливо только в узких окрестностях рассматриваемой точки (x₀, y₀).

Чаще всего на практике для линеаризации нелинейной функции применяют следующий способ: выделяют рабочий диапазон изменения управляемых параметров, после чего в стадии описания элементов функциональных схем САУ все нелинейные зависимости заменяются приближёнными линейными, предполагая, что управляемые параметры изменяются в пределах рабочего диапазона.

2.3. Преобразование Лапласа и его свойства

При анализе САУ широкое применение получил математический метод – преобразование Лапласа. Данное преобразование существенно облегчает исследования сложных САУ, поскольку дифференциальные уравнения, описывающие САУ, заменяются алгебраическими.

Преобразование Лапласа преобразует функцию вещественного переменного в функцию комплексного переменного , где p=a+jw – некоторый комплексный аргумент. Данное преобразование осуществляется посредством соотношения

. (2.15)

Функция называется оригиналом, – изображением. Часто преобразование (2.15) кратко обозначают как или . Для выполнения указанного преобразования необходимо, чтобы оригинал удовлетворял теореме Дирехле: должна быть определена на всей числовой оси, при t =0 , а также должна быть ограниченной по величине. Для рассматриваемых САУ, которые описываются дифференциальным уравнением (2.2), эти условия выполняются.

Преобразование Лапласа обладает следующими свойствами:

1) свойством линейности преобразования:

; (2.16)

2) свойством дифференцирования оригинала:

; (2.17)

3) свойством интегрирования оригинала:

; (2.18)

4) свойством сдвига аргумента оригинала:

; (2.19)

5) свойством сдвига аргумента изображения:

. (2.20)

В общем случае изображение , полученное на основании оригинала , представляет собой следующее:

, (2.21)

при этом .

Обратное преобразование Лапласа имеет вид

, (2.22)

где С – константа сходимости, которая принимается таким образом, чтобы все полюса функции F(p) лежали бы левее значения функции f(t). Кратко обратное преобразование Лапласа обозначают или .

Поскольку на практике применение обратного преобразования Лапласа в виде (2.22) вызывает затруднения, используют преобразование Хевисайда, полученное на основе (2.22):

, (2.23)

где – корни полинома изображения (2.21).

2.4. Численное решение дифференциальных уравнений САУ

Для решения дифференциального уравнения (2.2) с помощью численных методов его необходимо преобразовать в систему, состоящую из n -дифференциальных уравнений первого порядка. Для этого правую часть уравнения (2.2) обозначим как

. (2.24)

Кроме этого, введём обозначения , где i=1, …, (n-1). Тогда (2.2) будет иметь вид

. (2.25)

После несложных математических преобразований и с учётом введённых обозначений получаем систему из n -дифференциальных уравнений первого порядка:

(2.26)

Полученная форма записи системы дифференциальных уравнений называется нормальной формой Коши. При известном входном воздействии x(t) и начальных условиях (2.4) данная система уравнений (2.26) может быть решена с использованием ряда численных методов типа Рунге–Кутты [5]. Решение системы (2.26) в данном случае будет справедливо только для определённого интервала [ t₀, t_max ], а само решение системы будет представлять собой совокупность точек (t_i, y(t_i)) i=0, …M, по которым затем производится построение графика y(t). Особенность данных методов – большой объём вычислений, поэтому их применение требует использования вычислительной техники. Кроме этого, данные методы дают только приближённое решение системы дифференциальных уравнений (2.26) на рассматриваемом интервале [ t₀, t_max ].