Передаточная функция САУ

3.1. Структурная схема САУ

Любая САУ представляет собой некоторое соединение входящих в неё элементов, порядок соединения которых определяется функциональной схемой. Наряду с функциональной схемой широко используют также структурную схему САУ, которая отражает не только порядок соединения элементов, но и динамические свойства каждого элемента, входящего в состав САУ. Динамические свойства элементов САУ определяются их передаточными функциями (понятие передаточной функции будет подробно рассмотрено в п. 3.2). Как и в функциональной схеме, в структурной схеме САУ каждый её элемент изображается в виде прямоугольника, внутри которого изображается его передаточная функция. На входе и выходе каждого элемента обозначают соответственно лапласное изображение входного и выходного сигналов. Основные элементы, входящие в состав структурных схем САУ, приводятся в табл. 3.1.

Таблица 3.1

Основные элементы структурных схем САУ

№ пп	Наименование элемента	Обозначение на структурной схеме
	Звено
	Разветвление
	Сумматор, выполняющий суммирование двух сигналов
	Сумматор, выполняющий вычитание двух сигналов

3.2. Передаточная функция САУ

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение (2.1) связывающее входную и выходную величины САУ, предполагая начальные условия (2.4) нулевыми и предполагая отсутствие внешних возмущающих воздействий:

.

Применяем к правой и левой части рассматриваемого дифференциального уравнения преобразование Лапласа:

= (3.1)

или, используя свойство линейности преобразования Лапласа (2.16), получаем

= (3.2)

Применяем к (3.2) свойство дифференцирования оригинала (2.17):

= (3.3)

или

(3.4)

Таким образом, получено алгебраическое уравнение, представляющее собой изображение исходного дифференциального уравнения (2.1), описывающее переходные процессы в линейной САУ. Преобразуем его к виду

(3.5)

Если ввести обозначение

, (3.6)

тогда (3.5) запишется как

(3.7)

Алгебраическое уравнение (3.7) связывает изображение выходной величины САУ с его входной величиной , при этом данная связь зависит от , которая определяется уравнением (3.6). описывает динамические и статические свойства САУ и называется передаточной функцией САУ по входному воздействию.

Выражение (3.7) может быть также представлено в виде

, (3.8)

а для передаточной функции вводится следующее определение.

Передаточная функция САУ – отношение преобразования Лапласа Y(p) сигнала y(t) на выходе системы к преобразованию Лапласа X(p) сигнала на входе x(t) при нулевых начальных условиях.

Выражение для передаточной функции имеет большое практическое значение при исследовании свойств САУ, и она может быть легко получена из дифференциального уравнения (2.1) формальной заменой производных символом p в соответствующей степени.

В общем виде передаточная функция может быть представлена в виде дробно-рациональной функции

. (3.9)

Корни полинома числителя , получаемые из решения уравнения , называются нулями передаточной функции. Корни полинома знаменателя , получаемые из решения уравнения , называются полюсами передаточной функции.

3.3. Передаточные функции САУ при различных включениях звеньев

Любая САУ представляет собой соединение входящих в неё элементов, каждый из которых может быть описан своим дифференциальным уравнением вида (2.1) и, следовательно, своей передаточной функцией. Для исследования динамических свойств САУ необходимо найти передаточную функцию всей САУ. Данный поиск выполняется, используя следующие правила.

1. Если структурная схема САУ имеет участок с N -последовательно соединёнными звеньями (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Участок САУ с последовательным соединением звеньев

Передаточная функция данного участка САУ согласно (3.8) определится как

, (3.10)

или (3.10) можно представить в виде

. (3.11)

Обозначив , , …, , получаем

, (3.12)

или, в более кратком виде, передаточная функция участка САУ, содержащего N - последовательно соединённых звеньев, определится как

. (3.13)

2. Если структурная схема САУ имеет участок с N -параллельно соединёнными звеньями (рис. 3.2).

Передаточная функция рассматриваемого участка САУ согласно (3.8) определится как

Рис. 3.2. Участок САУ с параллельным соединением звеньев

. (3.14)

Выходной сигнал участка САУ согласно схеме, представленной на рис. 3.2, может быть выражен следующим образом:

. (3.15)

Подставляя (3.15) в (3.14), получаем

, (3.16)

или

. (3.17)

После введения обозначений , , …, уравнение (3.17) может быть записано следующим образом:

, (3.18)

или, в более кратком виде, передаточная функция участка САУ, содержащего N - параллельно соединённых звеньев, определится как

. (3.19)

3. Если в структурной схеме САУ присутствуют участки, содержащие звенья в цепи обратной связи (рис. 3.3).

Передаточная функция рассматриваемого участка САУ согласно (3.8) должна быть определена как

. (3.20)

Рис. 3.3. Участок САУ со звеном, включённым в цепь обратной связи

Согласно структурной схеме на рис. 3.3, выражаем :

, (3.21)

при этом знак «+» соответствует положительной обратной связи, знак «–» – отрицательной. Преобразуем

,

тогда (3.21) запишется в виде

. (3.22)

В свою очередь, . В соответствии с этим уравнение (3.22) может быть записано как

. (3.23)

Выразив из полученного выражения , получаем

. (3.24)

Выходной сигнал рассматриваемого участка САУ может быть выражен как

. (3.25)

Подставляем в последнее выражение формулу (3.24):

, (3.26)

или, преобразовав её в соответствии с искомой функцией (3.20), получаем выражение для передаточной функции участка САУ, в котором присутствуют звенья в цепи обратной связи:

, (3.27)

при этом знак «+» в данной формуле соответствует отрицательной обратной связи, знак «–» – положительной.

В некоторых случаях, когда структурная схема САУ имеет сложную разветвлённую структуру, могут также применяться следующие правила преобразования структурной схемы для получения общей передаточной функции САУ (табл. 3.2).

Таблица 3.2

Правила переноса точек соединения звеньев и сумматоров

№ пп	Правило преобразования	Структурная схема участка САУ
до преобразования	после преобразования
	Правило переноса точки соединения звеньев с выхода звена на его вход
	Правило переноса точки соединения звеньев со входа звена на его выход
	Правило переноса сумматора со входа звена на его выход
	Правило переноса сумматора с выхода звена на его вход

Основаны данные правила на следующем: структурная схема САУ есть алгебраизированное описание процессов, происходящих в системе. Поэтому её можно преобразовывать, исходя из требований идентичности сигналов в исходной и преобразованной схемах.

3.4. Передаточная функция замкнутой системы

Предположим, что известна передаточная функция САУ W(p). Замкнём рассматриваемую САУ таким образом, чтобы на вход системы действовал выходной сигнал Y(p) (рис. 3.4), при этом из разомкнутой получаем замкнутую САУ. Передаточная функция замкнутой САУ отличается от передаточной функции разомкнутой САУ W(p) и будет определяться как

	. (3.28) Для нахождения Ф(p) представим в виде , (3.29)
Рис. 3.4. Структурная схема замкнутой передаточной функции

или, выразив в последнем соотношении как

, (3.30)

получаем

. (3.31)

Из соотношения (3.31) определим :

. (3.32)

Далее, из (3.30) выражаем и, подставив данное соотношение в (3.32), получаем

. (3.33)

Переписав полученное выражение в соответствии с (3.28), находим

. (3.34)

Полученная передаточная функция замкнутой САУ описывает её свойства при изменении структуры САУ с замкнутой на разомкнутую.

Учитывая (3.9), соотношение (3.34) может быть также представлено в виде

. (3.35)

Корни полинома числителя B(p) называются нулями передаточной функции. Корни полинома знаменателя G(p)=B(p)+С(p), называемого также характеристическим полиномом замкнутой САУ, – полюса передаточной функции.

Выражение для передаточной функции разомкнутой САУ (3.8) связывает входную и выходную величины. Передаточная функция замкнутой системы (3.34) обеспечивает ту же связь, но для замкнутой САУ. В некоторых случаях требуется найти связь между другими величинами системы, например связь между ошибкой и задающим воздействием . Соотношение, обеспечивающее данную связь, называется передаточной функцией замкнутой САУ по ошибке:

, (3.36)

или, учитывая (3.34):

. (3.37)

Используя рассмотренные выражения, можно найти соотношения между любыми другими величинами системы, например передаточную функцию по нагрузке и т.п.