Типовые структурные звенья САУ

5.1. Общие положения

Для изучения динамических свойств САУ целесообразно рассматривать отдельные её элементы только с точки зрения их динамических свойств вне зависимости от их конкретного исполнения. Установить общие динамические свойства отдельных элементов САУ или установить их различие помогают типовые воздействия (табл. 4.1), подаваемые на вход элемента САУ. Одним из таких возмущений является единичная ступенчатая функция 1(t). В зависимости от вида, возникающего в элементе САУ переходного процесса, можно отнести этот элемент к тому или иному типу. Такое различие элементов по динамическим характеристикам приводит к понятию динамического звена.

Динамическим звеном (или просто звеном) [6] называется часть системы, описываемая уравнением, вид которого в общем случае может быть любым.

5.2. Безынерционное (усилительное) звено

Дифференциальное уравнение, описывающее процессы в данном динамическом звене, имеет вид

Рис. 5.1. График переходного процесса для безынерционного (усилительного) звена

, (5.1)

где k – коэффициент преобразования (усиления) звена. Принимая x(t)=1(t), получаем его временную характеристику

. (5.2)

График зависимости y(t) приводится на рис. 5.1.

Передаточная функция безынерционного звена, получаемая из (5.1), будет иметь вид

. (5.3)

Комплексная передаточная функция, получаемая с использованием (5.3), может быть записана как

. (5.4)

а)	б)
Рис. 5.2. Частотные характеристики безынерционного (усилительного) звена: а) АФЧХ; б) ЛАЧХ и ЛФЧХ

Амплитудная характеристика системы A(w) определяется с использованием (4.9):

. (5.5)

ЛАЧХ согласно (4.11) запишется в виде:

. (5.6)

Фазовая характеристика системы определяется при помощи формулы (4.10)

. (5.7)

При помощи равенств (5.6), (5.7) выполняем построение АФЧХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ (рис. 5.2).

5.3. Инерционное (апериодическое) звено

Процессы, протекающие в данном динамическом звене, могут быть описаны дифференциальным уравнением первого порядка

. (5.8)

Преобразовываем данное дифференциальное уравнение согласно приводимых выше требований (п. 2.1):

. (5.9)

Принимая для получения временной характеристики рассматриваемого звена x(t)=1(t), получаем

. (5.10)

Согласно (2.3) решение данного дифференциального уравнения складывается из свободной и вынужденной составляющих. Для нахождения свободной составляющей необходимо найти корни характеристического уравнения:

, (5.11)

соответствующего дифференциальному уравнению (5.9). Характеристическое уравнение имеет один корень . Свободная составляющая решения дифференциального уравнения (3.18) будет иметь вид . Вынужденная составляющая этого решения . Таким образом, решение дифференциального уравнения (5.9) запишется как

. (5.12)

Постоянная интегрирования определяется исходя из начальных условий (2.4). С учётом этого уравнение (5.12) может быть представлено в виде

. (5.13)

График y(t) приводится на рис. 5.3. Данный переходный процесс имеет апериодический характер.

Передаточная функция инерционного звена будет иметь вид

Рис. 5.3. График переходного процесса для инерционного (апериодического) звена

. (5.14)

Выполняя замену в (5.14): , находим комплексную частотную характеристику рассматриваемого звена:

. (5.15)

Из последнего выражения получаем амплитудную и фазовую характеристики:

, (5.16)

. (5.17)

а)	б)
Рис. 5.4. Частотные характеристики инерционного (апериодического) звена: а) АФЧХ; б) ЛАЧХ и ЛФЧХ

Графическое представление АФЧХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ приводится на рис. 5.4.

5.4. Колебательное звено

Процессы, протекающие в колебательном звене, могут быть представлены дифференциальным уравнением второго порядка

, (5.18)

или, с учётом требований п. 2.1:

. (5.19)

Принимаем x(t)=1(t) для получения временной характеристики звена, тогда (5.19) запишется как

. (5.20)

Решение данного уравнения есть сумма свободной и вынужденной составляющих (2.3). Вынужденная составляющая определяется видом правой части дифференциального уравнения (5.20): .

Свободная составляющая y_СВ(t) имеет вид (2.6) и определяется исходя из вида корней характеристического уравнения:

, (5.21)

которое соответствует дифференциальному уравнению (5.20). Корни данного уравнения находятся по известной формуле

. (5.22)

Возможны следующие разновидности решений дифференциального уравнения (3.28) в зависимости от s_{1, 2}:

1) s_{1, 2} вещественные, отрицательные: данный вид корней наблюдается при условии, что . Решение дифференциального уравнения (5.20) в данном случае будет иметь вид

. (5.23)

Переходный процесс будет описываться апериодической кривой (рис. 5.5 б). В этом случае колебательное звено называется инерционным звеном второго порядка. Данное колебательное звено может быть представлено в виде последовательного соединения двух инерционных звеньев, каждое из которых имеет передаточную функцию (5.14). Постоянные времени этих звеньев соответственно и ;

2) s_{1, 2} комплексные сопряжённые с отрицательной вещественной частью: данный вид корней наблюдается при условии, что . Тогда , где , . Решение дифференциального уравнения (5.20) будет иметь вид

, (5.24)

где A₀ и j – постоянные интегрирования, определяемые исходя из начальных условий (2.4):

; (5.25)

. (5.26)

С учётом этого (5.24) запишется как

. (5.27)

Переходный процесс в данном случае будет иметь вид затухающих колебаний (рис. 5.5 в);

3) s_{1, 2} комплексные, сопряжённые, с равной нулю вещественной частью: данный вид корней наблюдается при a=0, что возможно, только если T₁=0, а T₀< 0. Переходный процесс в данном случае будет иметь вид незатухающих колебаний (рис. 5.5 г), а колебательное звено, имеющее данный вид переходного процесса, называется консервативным.

а)	в)
б)	г)
Рис. 5.5. Графики переходных процессов для колебательного звена: а) входное воздействие; б) y(t) при ; в) y(t) при ; г) y(t) при T1=0, T0< 0

Передаточная функция колебательного звена, получаемая на основании дифференциального уравнения (5.20), будет иметь вид

. (5.28)

Комплексная частотная характеристика, определяемая на основании (5.28):

. (5.29)

Амплитудная и фазовая характеристики звена (рис. 5.6):

, (5.30)

. (5.31)

а)	б)
Рис. 5.6. Частотные характеристики колебательного звена: а) АФЧХ; б) ЛАЧХ и ЛФЧХ

5.5. Интегрирующее (астатическое) звено

Дифференциальное уравнение, устанавливающее связь между входной и выходной величинами, для интегрирующего звена имеет вид

, (5.32)

или, после умножения обеих частей уравнения на T, обозначив , получаем

. (5.33)

Для получения временной характеристики звена принимаем x(t)=1(t), тогда

. (5.34)

Решение данного уравнения получаем после интегрирования правой части:

. (5.35)

График y(t) приводится на рис. 5.7.

Рис. 5.7. График переходного процесса для интегрирующего (астатического) звена

Передаточная функция интегрирующего звена, получаемая на основании (5.35), будет иметь вид

. (5.36)

Комплексная частотная характеристика данного звена запишется как

. (5.37)

Амплитудная и фазовая характеристики, получаемые на основании (3.44), будут иметь вид (рис. 5.8)

, (5.38)

. (5.39)

а)	б)
Рис. 5.8. Частотные характеристики интегрирующего звена: а) АФЧХ; б) ЛАЧХ и ЛФЧХ

5.6. Дифференцирующее звено

Различают идеальное и реальное дифференцирующие звенья. Переходный процесс в идеальном дифференцирующем звене характеризуется уравнением

. (5.40)

Значение выходной величины данного звена y(t) пропорционально скорости изменения входного воздействия. При подаче на вход звена функции 1(t) на выходе будет наблюдаться импульс, имеющий бесконечно большую амплитуду, соответствующую бесконечно большой скорости изменения входного воздействия в момент подачи единичного воздействия 1(t) (рис. 5.9).

Передаточная функция, получаемая на основании выражения (5.40), для идеального дифференцирующего звена будет иметь вид

	. (5.41) Комплексная частотная ха­рактеристика звена   , (5.42)   откуда получаем амплитудную и фазовую частотные характеристики: , (5.43)   . (5.44)
Рис. 5.9. График переходного процесса: 1–для идеального дифференцирующего звена; 2–для реального дифференцирующего звена

Практически осуществить идеальное дифференцирующее звено, строго удовлетворяющее уравнению (5.40), невозможно. Физически возможно реализовать только звенья, выполняющие дифференцирующие действия более или менее приближённо. Такие звенья называют реальными дифференцирующими звеньями. Переходный процесс в реальном дифференцирующем звене может характеризоваться следующим уравнением:

. (5.45)

Передаточная функция и комплексная частотная характеристика, соответствующие дифференциальному уравнению (5.45), имеют вид

. (5.46)

. (5.47)

Соответствующие данной комплексной частотной характеристики амплитудная и фазовая частотные характеристики запишутся как

, (5.48)

. (5.49)

Графики АФЧХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ для идеального и реального дифференцирующих звеньев приводятся на рис. 5.10 – 5.11.

Рис. 5.10. АФЧХ дифференцирующего звена: 1 – идеального; 2 – реального	Рис. 5.11. ЛАЧХ и ЛФЧХ дифференцирующего звена: 1, 3 – идеального дифференцирующего звена; 2, 4 – реального дифференцирующего звена

5.7. Примеры нахождения передаточных функций

для некоторых технических устройств

Пример 1. Определение передаточной функции делителя напряжений (рис. 5.12).

	По второму закону Кирхгофа для рассматриваемой цепи справедливо выражение . (5.50)   После применения к данному выражению преобразования Лапласа получаем
Рис. 5.12. Схема делителя напряжения

, (5.51)

или:

. (5.52)

Разделим правую и левую части полученного выражения на :

(5.53)

или, после введения обозначений , и выполнения несложных математических преобразований:

. (5.54)

Таким образом, делитель напряжения в данном случае является безынерционным звеном с коэффициентом преобразования k.

Пример 2. Определение передаточной функции двухступенчатого редуктора (рис. 5.13).

Редуктор представляет собой совокупность механических передач и может использоваться в САУ для понижения скорости вращения двигателя. Рассмотрим двухступенчатый редуктор, состоящий из двух цилиндрических передач (рис. 5.13), и определим его передаточную функцию. Поскольку в точке зацеп-

Рис. 5.13. Схема двухступенчатого редуктора

ления линейные скорости зубчатых колёс 1 и 2 равны, учитывая, что и , запишем следующее уравнение:

, (5.55)

или

. (5.56)

С другой стороны, учитывая что в точке зацепления зубчатых колёс 3 и 4 их линейные скорости также равны и проводя аналогичные рассуждения, выразим угловую скорость w₁ через параметры зубчатых колёс 3 и 4:

. (5.57)

Приравнивая друг другу выражения (5.56) и (5.57), получаем

. (5.58)

Применяем к правой и левой частям уравнения (5.58) преобразование Лапласа, после чего находим передаточную функцию двухступенчатого редуктора:

. (5.59)

В полученном выражении – коэффициент преобразования редуктора.

Таким образом, двухступенчатый редуктор в данном случае имеет передаточную функцию безынерционного (усилительного) звена с коэффициентом преобразования k.

Пример 3. Определение передаточной функции LR -цепочки (рис. 5.14).

Рис. 5.14. Схема LR -цепочки

Для рассматриваемой схемы по второму закону Кирхгофа запишем выражение

. (5.60)

Преобразуем данное выражение с помощью преобразования Лапласа:

, (5.61)

. (5.62)

Выполнив несложные математические преобразования над последним выражением и обозначив , получаем

. (5.63)

Обозначив , выражение (5.63) перепишем в виде

. (5.64)

Полученная передаточная функция (5.64) есть передаточная функция инерционного (апериодического) звена с коэффициентом усиления k=1 и постоянной времени .

Пример 4. Определение передаточной функции LRC -цепочки (рис. 5.15). Согласно второму закону Кирхгофа для рассматриваемой схемы справедливо следующее уравнение:

Рис. 5.15. Схема LRС -цепочки

. (5.65)

Учитывая, что и что напряжение на конденсаторе является выходной величиной, u_C(t)= u_ВЫХ(t), (5.65) перепишем в следующем виде:

. (5.66)

Применяя к правой и левой частям полученного выражения преобразование Лапласа, получаем

, (5.67)

, (5.68)

, (5.69)

или

. (5.70)

где k – коэффициент преобразования (в данном случае k=1); T₁, T₂ – постоянные времени: ; .

Таким образом, в данном случае RLC -цепочка имеет передаточную функцию колебательного звена.

Пример 5. Определение передаточной функции двигателя постоянного тока независимого возбуждения (рис. 5.16 а). Цепь якоря двигателя постоянного тока может быть представлена схемой замещения (рис. 5.16 б), для которой согласно второму закону Кирхгофа справедливо следующее выражение:

, (5.71)

где e_я(t) – ЭДС, создаваемая в обмотке якоря и определяемая как

а)	б)
Рис. 5.16. Двигатель постоянного тока независимого возбуждения

. (5.72)

В последнем выражении С_Е – постоянная ЭДС, зависящая от конструкции двигателя; Ф – магнитный поток, создаваемый обмоткой возбуждения, который в данном случае предполагается постоянным. Перепишем (5.71) в следующем виде:

. (5.73)

Применив к правой и левой частям полученного дифференциального уравнения преобразование Лапласа, получаем

, (5.74)

где – коэффициент, имеющий размерность времени и называемый электромагнитной постоянной времени цепи якоря. Далее, выполняя несложные математические преобразования с формулой (5.74), получаем

, (5.74)

где , а DU_Я(p) определяется как

. (5.75)

Уравнение, описывающее механическое движение якоря двигателя, составляется согласно второму закону Ньютона и будет иметь следующий вид:

, (5.76)

где J – момент инерции вала двигателя;

М_ДВ (t) – электромагнитный момент, развиваемый двигателем:

. (5.77)

В последнем выражении C_М – механическая постоянная, определяемая конструкцией двигателя;

М_С(t) – момент сопротивления нагрузки, который может быть определён соотношением, аналогичным (5.77):

. (5.78)

В последнем выражении i_C(t) – ток, соответствующий статической нагрузке и определяемый моментом М_С.

Учитывая всё вышесказанное, уравнение динамики вращательного движения якоря (5.76) будем определять как

, (5.79)

Применяя к правой и левой частям полученного дифференциального уравнения преобразование Лапласа, получаем

. (5.80)

Далее, используя формулу (5.72) для ЭДС якоря и применив к ней преобразование Лапласа, выразим W(p):

, (5.81)

после чего полученное выражение подставим в (5.80), предварительно умножив правые и левые части этого уравнения на R_Я. Выполняя несложные математические преобразования, получаем

. (5.82)

Из последнего выражения находим передаточную функцию

,

где – коэффициент, имеющий размерность времени и называемый электромеханической постоянной времени;

, (5.83)

, (5.84)

. (5.85)

Таким образом, выше были получены выражения, представляющие собой математическую модель двигателя постоянного тока, которые могут быть записаны в виде следующей системы уравнений:

(5.86)

Полученной системе уравнений (5.86) будет соответствовать следующая структурная схема (рис. 5.17), используя которую, можно получить следующие виды передаточных функций:

а) передаточная функция по скорости – для этого необходимо принять М_С(p)=0 (рис. 5.18), тогда, используя правила нахождения передаточной функции САУ, структурная схема которой состоит из нескольких звеньев (см. п. 3.3, 3.4), получаем

, (5.88)

где k_W – коэффициент, равный ;

б) передаточная функция по нагрузке – для определения этой передаточной функции принимаем U(p)=0, и применяя правило переноса сумматора, преобразуем исходную структурную схему двигателя постоянного тока к следующему виду (рис. 5.19). Далее находим искомую передаточную функцию:

, (5.89)

где – коэффициент преобразования.

Рис. 5.17. Структурная схема двигателя постоянного тока независимого возбуждения (в качестве выходной величины выступает скорость вращения якоря)

Рис. 5.18. Структурная схема двигателя постоянного тока независимого возбуждения при нахождении его передаточной функции по скорости

Рис. 5.19. Структурная схема двигателя постоянного тока независимого возбуждения при нахождении его передаточной функции по нагрузке

Рассмотренные выше передаточные функции (5.88) и (5.89) представляют собой передаточные функции колебательного звена.

Структурная схема двигателя постоянного тока на рис. 5.17 соответствует случаю, когда в качестве выходной величины рассматривается скорость вращения якоря w(t). В ряде случаев, например при исследовании динамики следящего привода, в качестве выходной величины необходимо рассматривать угол поворота q(t). Учитывая, что скорость вращения якоря связана с его углом поворота соотношением

, (5.90)

исходная структурная схема двигателя постоянного тока преобразуется к следующему виду (рис. 5.20). Передаточные функции по скорости и нагрузке, соответствующие рассматриваемому случаю, определяются аналогично (5.88) и (5.89) и будут иметь следующий вид:

, (5.91)

. (5.92)

Рис. 5.20. Структурная схема двигателя постоянного тока независимого возбуждения (в качестве выходной величины выступает угол поворота якоря)

Пример 6. Построение АФЧХ САУ, состоящей из нескольких последовательно соединённых звеньев.

Рассмотрим САУ, которая имеет передаточную функцию (4.12):

, (5.93)

где k – коэффициент усиления системы, равный 35; T₁, T₂ – постоянные времени, соответственно равные 0, 15 и 0, 04.

Выполнить построение АФЧХ данной САУ (рис. 4.3) можно также следующим образом. Передаточную функцию (5.93) представим как передаточную функцию системы, состоящей из четырёх последовательно соединённых звеньев: безынерционного (усилительного) звена с передаточной функцией (5.3):

, (5.94)

интегрирующего (астатического) звена с передаточной функцией (5.36):

, (5.95)

и двух инерционных (апериодических) звеньев (5.14) с постоянными времени T₁, T₂. Передаточные функции этих звеньев имеют вид:

, (5.96)

. (5.97)

Выполняем замену p на jw в выражениях (5.94)–(5.97), в результате чего получаем:

, (5.98)

, (5.99)

, (5.100)

. (5.101)

Каждое из выражений (5.98)–(5.101) представляет собой комплексную функцию, которая может быть представлена в виде: , , , , где A₁(w) определяется согласно (5.5):

, (5.102)

A₂(w) определяется по формуле (5.38):

, (5.103)

A₃(w), A₄(w) – согласно (5.16):

, (5.104)

. (5.105)

В свою очередь, j₁(w)–j₄(w) определятся следующим образом: j₁(w) согласно (5.7) будет равен нулю, j₂(w)=–90⁰ согласно (5.39), j₃(w) и j₄(w) определятся по формуле (5.17):

, (5.106)

. (5.107)

Учитывая вышесказанное, исходную передаточную функцию (5.93) преобразуем к виду

, (5.108)

или

. (5.109)

В последнем выражении

, (5.110)

. (5.111)

Таким образом, частотные характеристики САУ, в число которых входит и АФЧХ, могут быть определены из частотных характеристик, входящих в САУ динамических звеньев. При этом амплитудное значение выходного сигнала САУ (5.110) определяется как произведение амплитудных характеристик, входящих в САУ динамических звеньев, начальная фаза выходного сигнала (5.111) определяется как сумма начальных фаз выходных сигналов каждого из звеньев, входящих в состав САУ.

Для построения АФЧХ САУ, как и в примере 1 п. 4.2, будем изменять значения w в интервале от 0 до ¥, подставив их в (5.102)–(5.105), вычислим амплитудные значения выходных сигналов каждого из звеньев, входящих в состав САУ. Аналогичным образом, подставив значения w в (5.106), (5.107), определим начальные фазы этих же сигналов. Амплитуду и начальную фазу выходного сигнала САУ будем определять соответственно по формулам (5.110), (5.111). Результаты вычислений занесём в табл. 5.1. По данным табл. 5.1 выполним построение АФЧХ САУ (рис. 5.21).

Таблица 5.1 Исходные данные для построения АФЧХ САУ с передаточной функцией (5.93)   w         A1(w)         A2(w) 0, 20 0, 10 0, 07 0, 05 A3(w) 0, 80 0, 55 0, 41 0, 32 A4(w) 0, 98 0, 93 0, 86 0, 78 A(w) 5, 49 1, 80 0, 81 0, 43 j1(w) 00 00 00 00 j2(w) –900 –900 –900 –900 j3(w) –370 –560 –660 –720 j4(w) –110 –220 –310 –390 j(w) –1380 –1680 –1870 –2000
Рис. 5.21. АФЧХ САУ с передаточной функцией (5.93)