Определение производной

Содержание

1. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. 4

1.1. Производная функции одной переменной. 4

1.1.1. Определение производной. 4

1.1.2. Основные правила дифференцирования. 4

1.1.3. Таблица производных основных элементарных функций. 5

1.1.4. Производная параметрически заданной функции. 5

1.1.5. Дифференцирование показательно – степенной функции. 5

1.1.6. Производные второго и более высоких порядков. 6

1.2. Приложения дифференциального исчисления функции одной переменной 6

1.2.1. Основные теоремы дифференциального исчисления. 6

1.2.2. Правило Лопиталя – Бернулли раскрытия неопределенностей. 7

1.2.3. Формула Тейлора и Маклорена. 8

1.2.4. Разложение элементарных функций по формуле Маклорена. 9

1.3. Исследование функции c помощью производных. 9

1.3.1. Асимптоты графика функции. 9

1.3.2. Убывание и возрастание функции. 10

1.3.3. Экстремумы функции. 10

1.3.4. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика функции. 11

1.3.5. План общего исследования функции. 11

1.3.6. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. 12

2. Типовой расчет………………………………………………………………....13

2.1. Указания к оформлению типового расчета ……………………………...13

2.2. Типовые задания …………………………………………………………..14

Темы для контроля……………………………………………………………...34

3. Примеры решения задач типовых заданий ……………………………......34

Список литературы ……………………………………………………………....49

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Производная функции одной переменной

Определение производной

Пусть функция определена на интервале и задано число . Придадим приращение так, чтобы . Приращение аргумента вызовет приращение функции .

Предел (если он существует) отношения приращения функции к приращению аргумента при называется производной функции в точке и обозначается , т. е.

.

При этом сама функция называется дифференцируемой в точке .

Функция называется дифференцируемой на интервале , если она дифференцируема в каждой точке этого интервала.

Для обозначения производной также используются следующие символы: .