Экстремумы функции

Значение функции называется локальным максимумом функции , если для любой точки из некоторой достаточно малой окрестности точки выполняется неравенство . Точка называется в этом случае точкой локального максимума функции .

Значение функции называется локальным минимумом функции , если для любой точки из некоторой достаточно малой окрестности точки выполняется неравенство . Точка называется в этом случае точкой локального минимума функции .

Максимум или минимум функции называются экстремумами функции. Точка максимума или минимума функции называется точкой экстремума функции.

Теорема 1 (необходимое условие существования экстремума). Если дифференцируемая функция достигает экстремума в точке , то ее производная первого порядка в этой точке равна нулю, т.е. .

Точки, в которых производная или не существует, называются критическими точками.

Теорема 2 (достаточное условие существования экстремума). Пусть функция непрерывна на интервале , содержащем критическую точку , дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки ). Если при переходе слева направо через производная меняет знак с «+» на «–», то при функция имеет локальный максимум; если при переходе через точку производная меняет знак с «–» на «+», то точка при функция имеет локальный минимум.

Если при переходе через точку производная знака не меняет, то экстремума в точке нет, а значение не является экстремумом функции.

1.3.4. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба
графика функции

Пусть задана дифференцируемая на интервале функция .

Кривая называется выпуклой (обращена выпуклостью вверх) на интервале , если все точки кривой расположены ниже любой ее касательной на этом интервале.

Кривая называется вогнутой (обращена выпуклостью вниз) на интервале , если все точки кривой расположены выше любой ее касательной на этом интервале.

Точка, отделяющая выпуклую часть непрерывной кривой от вогнутой, называется точкой перегиба.

Теорема 1 (признаки выпуклости графика функции).

1. Если в интервале , то график функции на этом интервале вогнутый.

2. Если в интервале , то график функции на этом интервале выпуклый.

Теорема 2 (достаточное условие существования точки перегиба).

Если вторая производная при переходе через точку , в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика является точкой перегиба.

При исследовании функции также следует учитывать точки, где вторая производная не существует.

План общего исследования функции

Исследование функции можно проводить по следующему плану.

1. Область определения функции.

2. Четность, нечетность, периодичность функции.

3. Непрерывность функции.

4. Асимптоты.

5. Нули функции и интервалы знакопостоянства.

6. Интервалы монотонности и экстремумы.

7. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

8. Построение графика.

9. Область значений функции.