Классификация методов решения СЛАУ.

Задача решения СЛАУ формулируется как вопрос численного решения систем вида:

(2.1)

Или, в векторно-матричной форме:

,

где – вектор правой части;

– вектор неизвестных;

– матрица коэффициентов системы.

Все методы решения СЛАУ можно разделить на два класса: прямые и итерационные методы.

Прямые методы– используют конечные соотношения (формулы), которые приводят к решению за известное конечное число арифметических операций. Если арифметические операции реализуются точно, то и получаемое решение СЛАУ также будет точным.

Итерационные методы – это методы последовательных приближений к решению, получаемых путем повторения циклов вычислений, называемых итерациями. Результатом проведения итерации является получение очередного приближения к решению. Итерации проводятся до получения решения с заданной точностью. Объем вычислений при использовании методов данного класса заранее определить трудно.

В качестве примера сопоставим трудозатраты для решения СЛАУ методом Крамера и методом Гаусса.

Пример: В методе Крамера количество операции (умножения) для решения СЛАУ размером n на n равно n!.

В методе Гаусса количество операций (умножения) для решения СЛАУ размером n на n равно .

Проведем оценку экономичности методов для разных размерностей СЛАУ:

для n=2

· метод Крамера - n! =2

· метод Гаусса - =8

для n=10

· метод Крамера - n! =

· метод Гаусса -

Из приведенных оценок видно, что метод Крамера лучше всего подходит для малых размерностей СЛАУ, начиная с размерности n=6 более эффективным становится метод Гаусса.