Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Интерполяционные формулы Ньютона.
Пусть интерполируемая функция задана значениями на системе равноотстоящих узлов, таких что , где шаг сетки (таблицы) интерполяции. Определим конечные разности 1-го порядка: Число конечных разностей 1-го порядка табличной функции заданной узлом равна . Определим конечные разности 2-го порядка: Для конечных разностей -того порядка: , где и . По определению 1-ая производная функции в точке : lim lim . Следовательно, можно говорить о том, что отношение конечных разностей 1-го порядка к шагу интерполяционной таблицы является численным приближением первой производной интерполируемой функции в узлах интерполяции, т.е.: . Рассмотрим связь конечных разностей 2-го порядка со второй производной интерполируемой функции: В общем случае можно говорить о связи между конечными разностями и производными интерполируемой функции -того порядка: . Интерполяционный полином будем искать в виде: . Необходимо определить коэффициент . Из 1-го условия интерполяции получаем: . То есть 1-ый коэффициент . Из 2-го условия интерполяции получаем: . Таким образом, для второго коэффициента имеем: . Рассмотрим 3-е условие интерполяции: . Для коэффициента можно записать: Введем следующее обозначение: . Тогда можно записать: Таким образом, 1-ая интерполяционная формула Ньютона (формула для интерполирования слева): Разделенные разности 1-го порядка. Разделенные разности 2-го порядка. … Разделенные разности k-го порядка: Формула Ньютона для интерполирования с непостоянным шагом:
|