Математическая постановка задачи. Для решения поставленной задачи можно использовать балансовую модель Леонтьева

Для решения поставленной задачи можно использовать балансовую модель Леонтьева. Она представляет собой систему уравнений, каждое из которых выражает требование равенства (баланса) между количеством продукции, производимой отдельным экономическим объектом, и совокупной потребностью в этой продукции. В рассматриваемой задаче экономическая система состоит из трех отраслей.

Пусть Xi - величина, равная суммарному выпуску продукции отрасли i; Хij - количество продукции отрасли i, необходимое для того, чтобы отрасль j произвела Xj единиц своей продукции;

Yi - количество продукции отрасли i, оставшейся для внешнего потребления (конечная продукция).

Тогда взаимосвязь отраслей в процессе производства и потребления отдельного продукта Xi (i =1, 2, 3) может быть описана в виде следующих уравнений:

^(10.1)

Используем понятие коэффициентов прямых затрат (технологических коэффициентов) aij:

- количество продукции отрасли i, необходимое для того, чтобы отрасль j произвела одну единицу своей продукции.

Тогда и система уравнений (10.1) будет иметь следующий вид:

(10.2)

Или в матричной форме

X=AX+Y, (10.3)

- матрица прямых затрат;

X - вектор-столбец выпуска продукции в предыдущем периоде

Y - вектор-столбец конечного спроса в предыдущем периоде

Решим уравнение (10.3) относительно X:

X-AX=Y,

отсюда

Х(Е-А)= Y, (10.4)

где Е - единичная матрица. Из уравнения (10.4) получаем

Х=(Е-А)^-1 Y. (10.5)