Решение задачи. Определение вектора конечной продукции за предыдущий период

Определение вектора конечной продукции за предыдущий период

По условию задачи известны объемы производства каждой из отраслей за предыдущий период (суммарный выпуск продукции отрасли i): X₁=600,, X₂= 1000 X₃= 800 и значения Хij ( i, j = 1, 2, 3):

Отсюда, используя (10.1), можно определить значения У,, г-1, 2, 3 конечной продукции каждой из отраслей за предыдущий период.

Y₁=600-250-100-160=90;

Y₂= 1000-150-500-0=3 50;

Y₃=800-0-300-400=100.

Таким образом, вектор конечной продукции за предыдущий период найден:

Проверка продуктивности матрицы

Все элементы матрицы А неотрицательные, А> =0.

Для того чтобы система уравнений (10.5) имела единственное неотрицательное решение при любом неотрицательном векторе Y, необходимо, чтобы матрица А была продуктивной. Экономический смысл продуктивности состоит в том, что существует такой план выпуска продукции, при котором каждая отрасль сможет произвести некоторое количество конечной продукции. Известно, что для продуктивности матрицы А> 0 необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы (Е-А) были положительными числами, строго меньше единицы. Кроме того, если сумма элементов каждого из столбцов неотрицательной квадратной матрицы А положительна и строго меньше единицы, то все главные миноры матрицы (Е-А) положитены и строго меньше единицы.

Суммы элементов каждого столбца матрицы А соответственно равны:

0, 417 + 0, 25 + 0 = 0, 667;

0, 1 + 0, 5 + 0, 3 = 0, 9;

0, 2 + 0 + 0, 5 = 0, 7.

Следовательно, в силу вышесказанного, матрица А продуктивна, выражение (10.5) имеет смысл и вектор У неотрицателен. Следовательно, для нахождения плана выпуска продукции Х можно воспользоваться формулой (10.5).

Вычисление матрицы Е-А

Вычислим матрицу(Е-А)

Вычисление обратной матрицы (Е-А)^{- 1}

Известно, что матрица В^-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице В, если произведение В*В^-1=Е (Е - единичная матрица).

Для вычисления обратной матрицы воспользуемся формулой

(10.6)

Здесь [ В _ij ] - матрица, полученная из элементов В _ij a В _ij - алгебраические дополнения элементов ij матрицы.

В _ij=(-1) ^i+j М _{I j} (10.7)

где М _I, - минор элемента В _ij (минор - это такой определитель, который получается из матрицы вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент).

Вычислим значения алгебраических дополнений элементов матрицы (Е-А). Обозначим для простоты описания вычислений Е-А-В