Корреляционный анализ

Различают:

• парную корреляцию – это зависимость между результативным и факторным признаком;
• частную корреляцию – это зависимость между результативным и одним факторным признаком при фиксированном значении других факторных признаков;
• множественную – многофакторное влияние в статической модели .

Теснота связи при линейной зависимости измеряется с помощью линейного коэффициента корреляции, который рассчитывается по одной из формул:

(5.16)

. (5.17)

Оценка линейного коэффициента корреляции

Значимость линейного коэффициента корреляции проверяется на основе t- критерия Стьюдента. Для этого определяется фактическое значение критерия :

, (5.18)

Вычисленное по формуле (6.18) значение сравнивается с критическим , который получают по таблице Стьюдента с учетом принятого уровня значимости и числа степеней свободы ν. Коэффициент корреляции считается статистически значимым, если t _расч превышает : t _расч > .

Универсальным показателем тесноты связи является теоретическое корреляционное отношение:

, (5.19)

где – общая дисперсия эмпирических значений y, характеризует вариацию результативного признака за счет всех факторов, включая х;

– факторная дисперсия теоретических значений результативного признака, отражает влияние фактора х на вариацию у;

– остаточная дисперсия эмпирических значений результативного признака, отражает влияние на вариацию у всех остальных факторов кроме х.

По правилу сложения дисперсий:

, т.е. . (5.19)

Оценка связи на основе теоретического корреляционного отношения (шкала Чеддока)

Значение	Характер связи		Значение	Характер связи
η = 0	Отсутствует		0, 5 ≤ η < 0, 7	Заметная
0 < η < 0, 2	Очень слабая		0, 7 ≤ η < 0, 9	Сильная
0, 2 ≤ η < 0, 3	Слабая		0, 9 ≤ η < 1	Весьма сильная
0, 3 ≤ η < 0, 5	Умеренная		η = 1	Функциональная

Для линейной зависимости теоретическое корреляционное отношение тождественно линейному коэффициенту корреляции, т.е. η = | r|.

Множественный коэффициент корреляции в случае зависимости результативного признака от двух факторов вычисляется по формуле:

, (5.20)

где – парные коэффициенты корреляции между признаками.

Множественный коэффициент корреляции изменяется в пределах от 0 до 1 и по определению положителен: .

Условие включения факторных признаков в регрессионную модель – наличие тесной связи между результативным и факторными признаками и как можно менее существенная связь между факторными признаками.

Значимость коэффициента множественной детерминации, а соответственно и адекватность всей модели и правильность выбора формы связи можно проверить с помощью критерия Фишера:

, (5.21)

где R ² – коэффициент множественной детерминации (R ² );

k – число факторных признаков, включенных в уравнение регрессии.

Связь считается существенной, если F _расч > F _табл – табличного значения F- критерия для заданного уровня значимости α и числе степеней свободы ν ₁ = k, ν ₂ = n – k – 1.

Частные коэффициенты корреляции характеризуют степень тесноты связи результативного признака и фактора, при элиминировании его взаимосвязи с остальными факторами, включенными в анализ. Расчет частных коэффициентов корреляции в случае двухфакторной регрессии (в первом случае исключено влияние факторного признака х ₂, во втором – х ₁):

; , (5.22)

где r – парные коэффициенты корреляции между указанными в индексе переменными.

Для оценки сравнительной силы влияния факторов, по каждому фактору рассчитывают частные коэффициенты эластичности:

, (5.23)

где – среднее значение соответствующего факторного признака;

– среднее значение результативного признака;

– коэффициент регрессии при i -м факторном признаке.

Данный коэффициент показывает, на сколько процентов следует ожидать изменения результативного показателя при изменении фактора на 1% и неизменном значении других факторов.

Частный коэффициент детерминации показывает, на сколько процентов вариация результативного признака объясняется вариацией i -го признака, входящего в множественное уравнение регрессии, рассчитывается по формуле:

, (5.24)

где – парный коэффициент корреляции между результативным и i -м факторным признаком;

– соответствующий стандартизованный коэффициент уравнения множественной регрессии:

. (5.25)

Пример

По данным о стоимости основных производственных фондов (С_ОПФ) и объеме валовой продукции (ВП) определить линейное уравнение связи.

Номер предприятия	СОПФ (), млн. руб.	ВП (y), млн. руб.		2	2
						19, 4	0, 36	20, 25
								12, 25
						30, 6	0, 16	6, 25
						36, 2	27, 04	2, 25
						41, 8	3, 24	0, 25
						47, 4	73, 96	0, 25
								2, 25
						58, 6	1, 96	6, 25
						64, 2	17, 64	12, 25
						69, 8	0, 04	20, 25
Сумма							125, 4	82, 5
Среднее	5, 5	44, 5	290, 7	38, 5	2248, 7	44, 5

;

.

Уравнение регрессии имеет вид:

.

Следовательно, с увеличением стоимости основных фондов на 1 млн.руб. объем валовой продукции увеличивается в среднем на 5, 6 млн. руб.

Проверим значимость полученных коэффициентов регрессии. Рассчитаем и :

для параметра а ₀:

для параметра а ₁: .

По таблице Стьюдента с учетом уровня значимости =5% и числа степеней свободы ν =10-1-1=8 получаем =2, 306.

Фактические значения и превышают табличное критическое значение . Это позволяет признать вычисленные коэффициенты корреляции типичными.

Пример По данным предыдущего примера оценить тесноту связи между признаками, оценить значимость найденного коэффициента корреляции.

, или .

Значение коэффициента корреляции свидетельствует о сильной прямой связи между рассматриваемыми признаками.

Значение t _расч превышает найденное по таблице значение =2.306, что позволяет сделать вывод о значимости рассчитанного коэффициента корреляции.

Пример Имеются некоторые данные о среднегодовой стоимости ОПФ (С_ОПФ), уровне затрат на реализацию продукции (З_РП) и стоимости реализованной продукции (РП). Считая зависимость между этими показателями линейной, определить уравнение связи; вычислить множественный и частные коэффициенты корреляции, оценить значимость модели.

СОПФ (х 1), млн.руб.	ЗРП (х 2), в % к РП	РП (y), млн.руб.			х 1 х 2	х 1 y	х 2 y
								20, 36
								20, 05
								24, 21
								26, 91
								30, 54
								29, 08
								33, 24
								35, 01
								36, 25
								38, 33
S = 66	S = 90	S = 294	S = 490	S = 1018	S = 688	S = 2078	S = 2880	S = 294
=6, 6	=9, 0	=29, 4	–	–	=68, 8	=207, 8	=288, 0	–

Решение. Составим систему нормальных уравнений МНК:

Выразим из 1-го уравнения системы a ₀ = 29, 4 – 6, 6· a ₁ – 9· a ₂.

Подставив во 2-е уравнение это выражение, получим:

.

Далее подставляем в 3-е уравнение вместо a ₀ и a ₁ полученные выражения и решаем его относительно a ₂ с точностью не менее 3-х знаков после запятой. Итак:

a ₀ = 12, 508; a ₁ = 2, 672; a ₂ = – 0, 082; = 12, 508 + 2, 672· х ₁ – 0, 082· х ₂.

= = 0, 884;

= = 0, 777;

= = 0, 893;

=0, 893.

Проверим значимость r (α = 0, 01 и ν = 7):

= 5, 00; = 3, 27.

=5, 00 > t _табл=3, 50 – коэффициент корреляции x ₁ значим;

=3, 27 < t _табл=3, 50 – коэффициент корреляции x ₂ не значим.

Произведенные расчеты подтверждают условие включения факторных признаков в регрессионную модель – между результативным и факторными признаками существует тесная связь ( = 0, 884; = 0, 777), однако между факторными признаками достаточно существенная связь ( = 0, 893). Включение в модель фактора x ₂ незначительно увеличивает коэффициент корреляции ( = 0, 884; =0, 893), поэтому включение в модель фактора x ₂ нецелесообразно.

Вычислим стандартизованные коэффициенты уравнения множественной регрессии:

Отсюда вычислим частные коэффициенты детерминации:

т.е. вариация результативного признака объясняется главным образом вариацией фактора x1.

Вычислим частные коэффициенты эластичности:

Проверим адекватность модели на основе критерия Фишера:

Найдем значение табличного значения F-критерия для уровня значимости α =0, 05 и числе степеней свободы ν 1 = 2, ν 2 = 10 –2 – 1: Fтабл=4, 74. Превышение значения Fрасч над значением Fтабл позволяет считать коэффициент множественной детерминации значимым, а соответственно и модель – адекватной, а выбор формы связи - правильным.