Методы анализа тенденций рядов динамики

Одной из важнейших задач статистики является определение в рядах динамики общей тенденции развития явления. На развитие явления во времени оказывают влияние факторы, различные по характеру и силе воздействия. Одни из них оказывают практически постоянное воздействие и формируют в рядах динамики определенную тенденцию развития. Воздействие же других факторов может быть кратковременным или носить случайный характер.

Основная тенденция (тренд) – изменение, определяющее общее направление развития, это систематическая составляющая долговременного действия.

Задача – выявить общую тенденцию в изменении уровней ряда, освобожденную от действия различных случайных факторов. Методы выявления тренда:

1) Метод укрупнения интервалов основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда динамики (одновременно уменьшается количество интервалов). Средняя, исчисленная по укрупненным интервалам, позволяет выявить направление и характер (ускорение или замедление роста) основной тенденции развития, в то время как слишком малые интервалы между наблюдениями приводят к появлению ненужных деталей в динамике процесса, засоряющих общую тенденцию.

Различные направления изменений уровней ряда по отдельным месяцам затрудняют выводы об основной тенденции производства. Если соответствующие месячные уровни объединить в квартальные и вычислить среднемесячный выпуск продукции по кварталам, т.е. укрупнить интервалы, то решение задачи упрощается.

После укрупнения интервалов основная тенденция роста производства стала очевидной: 5, 23< 5, 57< 5, 87< 6, 03 млн.руб.

2) Метод скользящей средней заключается в том, что исчисляется средней уровень из определенного числа (обычно нечетного) первых по счету уровней ряда, затем – из такого же числа уровней, но начиная со второго по счету, далее – начиная с третьего и т.д. Таким образом, средняя как бы “скользит” по ряду динамики, передвигаясь на один срок.

Недостатком сглаживания ряда является укорачивание сглаженного ряда по сравнению с фактическим, а, следовательно, потеря информации.

Сглаженный ряд урожайности по трехлетиям короче фактического на один член ряда в начале и в конце, по пятилетиям – на два члена в начале и в конце ряда. Он меньше, чем фактический, подвержен колебаниям из-за случайных причин, и четче выражает основную тенденцию роста урожайности за изучаемый период, связанную с действием долговременно существующих причин и условий развития.

Укрупнение интервалов и метод скользящей средней дают возможность определить лишь общую тенденцию развития явления, более или менее освобожденную от случайных или волнообразных колебаний. Получить обобщенную статистическую модель тренда посредством этих методов нельзя.

Рис. 8.2. Эмпирические и сглаженные уровни ряда динамики

3) Аналитическое выравнивание ряда динамики используется для того, чтобы дать количественную модель, выражающую основную тенденцию изменения уровней ряда динамики во времени.

Общая тенденция развития рассчитывается как функция времени:

ŷ _t = f (t), (6.16)

где ŷ _t – уровни динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени t.

Определение теоретических (расчетных) уровней ŷ _t производится на основе так называемой адекватной математической модели, которая наилучшим образом отображает (аппроксимирует) основную тенденцию ряда динамики.

Простейшими моделями, выражающими тенденцию развития, являются (где a ₀, a ₁ – параметры уравнения; t – время):

Линейная функция (прямая) ŷ _t = a ₀ + a ₁· t. (6.17)

Показательная функция . (6.18)

Степенная функция (парабола) ŷ _t = a ₀ + a ₁· t + a ₂· t ². (6.19)

Расчет параметров функции обычно производится методом наименьших квадратов. Выравнивание ряда динамики заключается в замене фактических уровней y_i плавно изменяющимися уровнями ŷ _t, наилучшим образом аппроксимирующими статистические данные.

Выравнивание по прямой используется в тех случаях, когда абсолютные приросты практически постоянны, т.е. когда уровни изменяются в арифметической прогрессии.

Выравнивание по показательной функции используется в тех случаях, когда ряд отражает развитие в геометрической прогрессии, т.е. когда цепные коэффициенты роста практически постоянны.

Выравнивание ряда динамики по прямой ŷ _t = a ₀ + a ₁· t. Параметры a ₀, a ₁ согласно МНК находятся решением следующей системы нормальных уравнений:

(6.20)

где y – фактические (эмпирические) уровни ряда;

t – время (порядковый номер периода или момента времени).

S t = 0, так что система нормальных уравнений (8.20) принимает вид:

(6.21)

Отсюда можно выразить коэффициенты регрессии:

; (6.22)

. (8.23)

Если расчеты выполнены правильно, то S y = S ŷ t.

Пример

Для выравнивания ряда из примера 8.3 используем линейную трендовую модель – уравнение прямой ŷ _t = a ₀ + a ₁· t. n = 10. Расчет уравнения регрессии выполним в табличной форме.

Таким образом,

S y =153, 4; S y·t = 6, 8; S t ² = 330.

Вычислим параметры a ₀, a ₁по формулам (8.22, 8.23):

= 15, 34; = 0, 021.

Расчет уравнения регрессии

Уравнение прямой будет иметь вид:

ŷ _t = 15, 34+0, 021· t.

Подставляя в данное уравнение последовательно значения, находим выравненные уровни ŷ _t (гр. 6 табл. 7.3).

Проверим расчеты:

S y = S ŷ _t = 153, 4.

Следовательно, значения уровней выравненного ряда найдены верно.

Полученное уравнение показывает, что, несмотря на значительные колебания в отдельные годы, наблюдается тенденция увеличения урожайности: с 1991 по 2000 г. урожайность зерновых культур в среднем возрастала на 0, 021 ц/га в год.

Тенденция роста урожайности зерновых культур в изучаемом периоде отчетливо проявляется в результате построения выравненной прямой.