Прогнозирование в условиях неопределенности и риска

Принятие решений в условиях риска – наиболее распространенный случай, вероятностная ситуация прогнозного решения.

Неопределенность информации порождает и некоторую неопределенность в принимаемых решениях.

Первая ситуация – полная неопределенность. Это не означает, что в задаче вообще ничего неизвестно, конечно должна существовать и быть сформулирована проблема. Предполагаются выясненными и возможные варианты решения проблемы.

Поскольку мы хотим найти лучшую альтернативу, то по каждой из них должен быть известен приносимый эффект. В задаче выделяются несколько возможных внешних условий, называемыми состояниями (стратегиями) природы, состояниями среды.

Допустим имеется 4 альтернативы А₁, А₂, А₃, А₄ и возможны 3 состояния природы – П₁, П₂, П₃.

Предположим, принимается решение о том, какое из 4-х сельскохозяйственных культур целесообразнее вырастить в следующие годы. Для этого составляется матрица «выигрышей» с учетом прошлых данных (таблица 4).

Таблица 4 - Матрица выигрышей

Ожидаемый «выигрыш» - это величина урожайности или дохода. Выигрыши зависят не только от выбранной культуры, но и от состояния природы.

Допустим:

- П₁ означает сезон с максимумом солнечных дней и минимум осадков;

- П₂ – средний уровень жары и влаги;

- П₃ – минимум солнца и максимум дождей.

Культуры, также, по-разному реагируют на погоду:

- А₁ – предпочитает больше тепла и меньше влаги, т.е. состояние погоды П₁;

- А₂ и А₃ – покажут наибольший результат при средних погодных условиях (П₂);

- А₄ – предпочитает максимум влаги.

Поскольку культуры выбираются задолго до начала посевной, значит состояние природы неизвестно.

Кроме того, необходимо еще учитывать величину риска.

Допустим, мы выбираем первую культуру (стратегия А₁) и погода оказалась в состоянии П₁, следовательно можно получить максимальный выигрыш (15) при нулевом риске. Но если погода окажется в состоянии П₃, тогда выигрыш составит всего 7 ед., а если бы мы выбрали А₄ выигрыш составил бы 18 ед., значит риск для ситуации А₁ П₃ = 11 ед. (18-7). Для ситуации А₄ П₃ риска нет, но при природе П₁ будет равен 7 ед. (15-8). Аналогично можно определить все величины риска (таблица 5).

Таблица 5 - Матрица рисков

Далее, на основании нескольких критериев, можно выбрать лучшее решение.

1 Критерий максимального выигрыша. Суть решения заключается в том, что из всех цифр выбирается наибольшая, а соответствующая ей стратегия считается наилучшей (в примере - А₄ П₃). Этот вариант относится к крайнему оптимизму и никаких рисков во внимание не принимает.

2 Критерий Лапласа (критерий максимального среднего выигрыша). Он основан на предположении, что каждый вариант развития ситуации (состояния «природы») равновероятен. Поэтому, для принятия решения, необходимо рассчитать функцию полезности F_i для каждой альтернативы, равную среднеарифметическому показателей привлекательности по каждому «состоянию природы»:

Выбирается та альтернатива, для которой функция полезности максимальна:

F₁ =

F₂ =

F₃ =

F₄ =

Из расчетов видно, что функция полезности максимальна для альтернативы А₄, следовательно рациональнее всего принять именно ее.

Таким образом, данный метод учитывает все природные ситуации и можно найти средний выигрыш для всех стратегий.

3 Критерий Вальда (критерий крайнего пессимизма). Данный критерий основывается на принципе максимального пессимизма, то есть на предположении, что скорее всего произойдет наиболее худший вариант развития ситуации и риск наихудшего варианта нужно свести к минимуму. Для применения критерия нужно для каждой альтернативы выбрать наихудший показатель привлекательности a_i (наименьшее число в каждой строке матрицы выигрышей) и выбрать ту альтернативу, для которой этот показатель максимальный. Для нашего примера: a₁=7, a₂=10 a₃=9 a₄=8. Видно, что наилучшим из наихудших показателей значением обладает альтернатива А ₂, следовательно она и будет считаться лучшей стратегией.

4 Критерий Севиджа (критерий минимального риска). Он основан на принципе минимизации потерь. Для этого используя матрицу рисков, найти максимальный риск: a₁=11, a₂=8 a₃=6 a₄=7, далее необходимо найти наименьшую величину - к ней относится стратегия А ₃.

5 Критерий компромисса Гурвица (пессимизма-оптимизма). Этот критерий рекомендует находить некоторый компромисс между выбором решений на основе крайнего оптимизма и крайнего пессимизма. Рассматривают значения представленные в матрице выигрышей. Для компромисса максимального и минимального значения введем некоторый коэффициент α, который назовем коэффициентом доверия или коэффициентом оптимизма. Этот коэффициент можно интерпретировать как вероятность, выбора наилучшей стратегии. Коэффициент выбирается произвольно от 0 до 1, т.е. α = 0 – 1. Допустим α = 0, 5; 0, 8; 0, 4.

Таблица 6 - Расчеты по критерию Гурвица

Решение для стратегии А₁.

для α = 0, 5: 0, 5× 15+0, 5× 7 = 11;

для α = 0, 8: 0, 8× 15+0, 8× 7 = 13, 4;

для α = 0, 4: 0, 4× 15+0, 4× 7 = 10, 2.

Для каждого значения коэффициента в данном случае можно получить 4 числа, из которых наибольшее и указывает на лучшее решение. Следовательно, при α = 0, 5 лучшими можно считать стратегии А₂ и А₄, при α = 0, 8 оптимальна стратегия А₄, при α = 0, 4 - стратегия А₂.

Величина коэффициента выбирается субъективно. Чем ближе он к единице, тем сильнее на принятие решения влияют максимальные значения выигрышей. При α = 1 критерий Гурвица превращается в критерий крайнего оптимизма. При большей склонности к осторожности, коэффициент α приближается к нулю, усиливается ориентация на минимальные значения. В примере самый минимальный коэффициент рекомендует стратегию А₂, эта же стратегия оптимальна и при критерия Вальда, в него же переходит критерий Гурвица при α = 0.

Таким образом, можно составить матрицу выбора оптимальной стратегии.

Таблица 8 - Матрица выбора оптимальной стратегии

Согласно матрице лучшими оказались три из 4-х стратегий. Окончательное решение остается за оперирующей стороной, хотя возможно следует учесть, что чаще всего лучшей была стратегия А₄.

Рассмотрим устранение неопределенности. Неопределенность в задача будет уменьшаться, если состояние природы перестанет быть полностью непредсказуемым. Пусть в период выработки решения прогноза погоды на предстоящий год еще нет. Но можно изучить фактические погодные условия за ряд предыдущих лет, вычислить действительные доли состояний природы П_i в прошлом и приравнять к ним ожидаемые вероятности этих состояний на будущий год. Эти вероятности называют априорными, поскольку исходят только из прошлых данных, а не из текущего опыта.

Предположим, по информации за последние 20 лет оказалось, что состояние природы, обозначенное П₁, наблюдалось в течении 5 лет, т.е 25%, погода П₂ была 12 лет - 60%, состояние П₃ - 3 года или 15%. Теперь априорно предположим, что на следующий год может быть такие вероятностные состояния природы: П₁ - 0, 25, П₂ - 0, 6, П₃ - 0, 15. Все остальные данные остались неизменными.

Теперь для каждой стратегии можно оценить величину ожидаемого выигрыша. Рассмотрим стратегию А₁. Если состояние природы будет П₁, то выигрыш составит 15 единиц, но вероятность этой погоды 0, 25, значит ожидаемый выигрыш 15× 0, 25. Всего ожидаемый выигрыш при стратегии А₁ составит 15× 0, 25+11× 06+7× 0, 15 = 11, 4. Следовательно, для стратегии А₂ выигрыш составит 14, 1, А₃ - 12, 6, А₄ - 13, 7. Таким образом, наибольшее ожидание выигрыша дает стратегия А₂, ее и нужно считать оптимальной стратегией.

С помощью тех же состояний природы можно оценить не только ожидаемые выигрыши, но и средние риски.