Теория игр в прогнозировании

Игра ­ это идеализированная математическая модель коллективного поведения нескольких лиц (игроков), интересы которых различны, что и порождает конфликт. Конфликт не обязательно предполагает наличие антагонистических противоречий сторон, но всегда связан с определенного рода разногласиями. Конфликтная ситуация будет антагонистической, если увеличение выигрыша одной из сторон на некоторую величину приводит к уменьшению выигрыша другой стороны на такую же величину и наоборот. Антагонизм интересов порождает конфликт, а сов­ падение интересов сводит игру к координации действий (кооперации). Примерами конфликтной ситуации являются ситуации, складывающиеся во взаимоотношениях покупателя и продавца; в условиях конкуренции различных фирм; в ходе боевых действий и др. Примерами игр являются и обычные игры: шахматы, шашки, карточные, салонные и др. (отсюда и название “теория игр” и ее терминология). В большинстве игр, возникающих из анализа финансово-экономических, управленческих ситуаций, интересы игроков (сторон) не являются строго антагонистическими ни абсолютно совпадающими. Покупатель и продавец согласны, что в их общих интересах договориться о купле­ продаже, однако они энергично торгуются при выборе конкретной цены в пределах взаимной выгодности.

Сегодня игровые модели столь разнообразны, что вряд ли возможно дать простое формальное определение игры, которое бы включало все модели. Неформально, игра — это модель конфликтной ситуации, в которой 1) участвует n лиц (игроков), 2) заданы правила игры (способ принятия решений каждым из игроков), 3) определены правила осуществления платежей между игроками. Обычно игры классифицируют следующим образом.

По количеству игроков: игры 1, 2, n игроков.

По количеству стратегий: конечные и бесконечные игры. Если у всех игроков конечное число стратеги, то такая игра конечная, иначе — игра бесконечная.

По характеру взаимоотношений между игроками: бескоалиционные и кооперативные игры. Игра называется бескоалиционной, если игроки не заключают между собой никаких соглашений. Конечная бескоалиционная игра двух игроков называется биматричной игрой. В кооперативной игре игроки могут заключать соглашения с целью увеличить свои выигрыши.

По свойствам функций выигрышей: непрерывные, выпуклые, сепарабельные и т. д. Если сумма выигрышей всех игроков в каждой партии равна нулю, то это — игра с нулевой суммой. Игра двух игроков c нулевой суммой называется антагонистической. В такой игре один игрок выигрывает за счет другого. Конечная антагонистическая игра называется матричной игрой. В играх с ненулевой суммой все игроки в сумме могут получить меньше их суммарного взноса. Например, в лотерее ее организаторы всегда в выигрыше, а участники в сумме полу- чают меньше их суммарного взноса.

По количеству ходов: одноходовые и многоходовые. Среди многоходовых игр выделим позиционные игры, в которых несколько игроков последовательно делают ходы; выигрыши игроков зависят от стратегии выбора ходов (пример — шашки, шахматы, карточные игры, игровые автоматы, динамические экономические системы и т. д.).

По информированности игроков: игры с совершенной и несовершенной информацией. В игре с совершенной информацией на каждом шаге игрокам известно, какие ходы были сделаны ранее (например, шашки и шахматы). В игре с несовершенной информацией игроки могут не знать, в какой позиции они находятся (некоторые стохастические игры, в частности, карточные игры). К играм с несовершенной информацией сводятся игры с неполной информацией (также известные как байесовские игры).

В отличие от игр с несовершенной информацией, где неполная информированность игроков возникает в процессе игры, в играх с неполной информацией неполная информированность некоторых игроков возникает еще до начала игры, как следствие ассимметричной информированности игроков (покупатель меньше знает о качестве товара, чем продавец, предприятие точно не знает, какую технологию использует ее конкурент, и т. д.)

Теория игр (game theory) изучает, каким образом выстраивают свое поведение агенты в так называемых «играх» - ситуациях, когда результат принятия решений зависит не только от поведения данного агента, но и от поведения других участников игры.

Индивид, принимая решения, может догадываться о том, как будут вести себя другие участники игры. Индивид будет принимать решение исходя из рациональной догадки о поведении других. Говорят, что в этом случае индивид следует определённой игровой стратегии.

Игровая стратегия – это линия поведения участника в зависимости от предположений об ответных действиях других участников. Доминирующая игровая стратегия – это стратегия, при которой участник получает максимальный выигрыш при любых действиях других сторон.

Что такое игровая стратегия и доминирующая игровая стратегия лучше всего показать на конкретном примере – простейшей игре под названием «дилемма заключенного», анализ которой и положил начало теории игр.

Дилемма заключенного - это игра между двумя участниками с двумя возможными исходами и одновременными ходами.

Суть игры заключается в следующем. Представьте, что вы с напарником совершили преступление, например, ограбили банк. Полиция поймала вас обоих и теперь проводит допрос каждого из них в разных камерах. Полиция предлагает вам сделку: вы даете показания на своего напарника, и тогда выходите на свободу. Такую же сделку предлагают вашему напарнику.

Каждый из преступников имеет выбор: давать показания на напарника или молчать. Если вы оба даете показания друг на друга, то каждый получает по 2 года тюрьмы. Если вы оба молчите, то в полной мере вашу вину будет трудно доказать, и каждый получит только по 1 году. Но если вы даете показания на вашего подельника, а он нет, то вы выходите на свободу, а ваш подельник получает 5 лет тюрьмы. Таким образом, приговор, который получит каждый преступник, зависит не только от его показаний, но и от показаний другого преступника.

То есть у вас есть 4 варианта действий:

1. Вы даете показания, а напарник молчит. Тогда вы выходите на свободу, а напарник садится на 5 лет.

2. Вы даете показания, и ваш напарник дает показания. Вы оба получаете по 2 года.

3. Вы молчите, и напарник молчит. Вы выходите на свободу через 1 год в виду недостаточности улик для более серьезного обвинения.

4. Вы молчите, а напарник дает показания. В этом случае вы садитесь на 5 лет, а напарник выходит на свободу.

Какой вариант выберете Вы в данной ситуации?

Джон Нэш задал этот простой вопрос, и, проанализировав такую игру, пришел к выводам, которые совершили переворот во взглядах экономистов на то, как принимают решения люди при взаимодействиях друг с другом.

В таблице 9 приведена матрица результатов для преступников в зависимости от их действий

Таблица 9 - Матрица результатов " Дилемма заключенного

В каждой клеточке сначала идет срок наказания для преступника А, потом срок наказания для преступника В.

Рассмотрим ход рассуждений каждого преступника:

Преступник А: я не знаю, как поведет себя преступник В. Если он не даст показания, то мне лучше их дать, потому что тогда я выйду на свободу. Если он будет молчать, то мне опять же лучше дать показания, потому что тогда я получу 2 года наказания, а не 5. Поэтому мне лучше дать показания вне зависимости от того, как поведет себя мой подельник.

Аналогичным образом рассуждает преступник В.

Таким образом, доминирующей игровой стратегией для каждого из них становится дача показаний. В этом случае игровое равновесие устанавливается, когда они оба признаются и получат по 2 года наказания. Данное равновесие достигается потому, что стратегия «дать показания» каждого участника является оптимальной при заданной стратегии другого участника. Достигнутое равновесие является равновесием по Нэшу.

Равновесие Нэша – равновесие, когда каждый участник игры выбирает стратегию, которая является для него оптимальной при условии, что остальные участники игры придерживаются определенной стратегии.

Нетрудно увидеть, что Нэш-равновесие не является наиболее оптимальным для участников. Если бы они оба выбрали стратегию «не признаться», то получили бы только по 1 году. В этом случае говорят, что равновесие не является Парето-оптимальным ¹. Если бы преступники смогли договориться заранее, то, возможно, они смогли бы достичь Парето-оптимального равновесия. Но даже в случае договоренности каждый из них имеет стимулы отступить от договоренностей и признаться, чтобы избежать наказания полностью. В этом случае эгоистические интересы каждого из участников и недоверие к напарнику заставляют преступников выбрать вариант «признаться». Согласованное поведение участников будет нерациональным с индивидуальной точки зрения каждого из участников.

Выводы Джона Нэша стали революционными. Адам Смит считал, что когда каждый член группы действует эгоистично, преследуя свои собственные интересы, это ведет к эффективному равновесному состоянию этой группы. Этот принцип был назван «невидимая рука рынка». Джон Нэш показал, что когда каждый член группы действует только в своих интересах, это не приводит к достижению максимальных интересов всей группы.

Эта идея часто иллюстрируется с помощью так называемого «парадокса блондинки». Допустим, компания холостяков отправляются вечером в бар, где за соседним столиком сидит компания молодых девушек, из которых одна является блондинкой. Каким образом компании молодых людей стоит начать знакомиться с девушками?

Если каждый из них попытается познакомиться сначала с блондинкой, то она не достанется никому. В этом случае остальные девушки (брюнетки) оттолкнут молодых людей, поскольку никто не хочет быть девушкой второго сорта. Компания молодых людей останется без девушек. Но вот если блондинку никто не заметит, то каждый из молодых людей найдет себе не менее достойную девушку.

На этом простом примере показывается, что преследование эгоистичных интересов может не всегда отвечать интересам группы. Если Адам Смит считал, что каждый индивид должен преследовать только свои личные интересы, то Джон Нэш ответил, что не только свои, но и интересы группы.

Дилемма заключенного и парадокс блондинки являются красивой метафорой. Тем не менее, в реальной жизни можно найти множество ситуаций, когда аппарат теории игр находит полезное применение.

На рынках многих благ существует так называемая дуополия – ситуация, когда рынок контролируется двумя крупными игроками. Например, на рынке прохладительных напитков можно обнаружить два гиганта: Coca-Cola company и Pepsi-Cola, на рынке самолетостроения есть два гиганта - Airbus и Boeing. Решение одного их игроков, например, о проведении рекламной кампании, отражается не только на его положении, но и на положении другого участника. В этой ситуации конкурирующие стороны начинают соперничать, неимоверно раздувая собственные рекламные бюджеты. Им можно было бы снизить объемы рекламы и увеличить получаемую прибыль, но для этого им нужно сначала договориться.

На простейшем примере игры «дилемма заключенного» показывается, что устойчивое равновесие в игре (так называемое равновесие по Нэшу) не обязательно обеспечивает наилучший для участников результат (так называемый Парето-оптимум). Дилемма заключенного является примером одномоментной игры, в которой участники принимают решения одновременно. Также существуют последовательные игры, в которых участники принимают решения один после другого. Примеры с обоими видами игр рассматриваются нами в главе «Олигополия».