Непрерывность и типы разрыва функций.

Имеется три типа разрывов функций.

а) Устранимый разрыв, когда существует предел функции в точке , но он не равен значению функции в предельной точке

.

б) Разрыв первого рода, когда в точке существует предел слева и предел справа, однако они не равны между собой

.

в) Все остальные виды разрыва называются разрывами второго рода.

Задачи 2.3.а-2.3. б. Найти точки разрыва функций

,

и определить тип разрыва. Сделать схематический чертеж.

Решение. Функция может иметь разрыв в точках , . В точке в пределе имеет место соотношение , то есть функция становится неограниченной в окрестности . Поскольку при , и при , то функция стремится к при , и к при .

В точке ситуация сложнее. При в пределе получаем , то есть мы имеем дело с неопределенностью. Чтобы найти предел , воспользуемся правилом Лопиталя:

.

Получаем:

Следовательно,

В случае правостороннего предела ситуация проще:

Таким образом, в точке также имеет место разрыв второго рода.

Схематическое поведение графика изображено на рисунке.

0 7 10

Функция может иметь разрывы только в точках и . В окрестности точки функция имеет разрыв второго рода. При получаем, что , а при получаем, что .

Найдем пределы при и при . Вновь используем правило Лопиталя. Пусть сначала .

При вычисления аналогичны:

Следовательно, у функции в точке имеется устранимый разрыв. Эскиз графика изображен на рисунке.

6 7 8 10