Общая схема исследования функций.

Задача 2.4. Исследовать функцию с помощью производных первого и второго порядка и построить её график.

Решение. Исследование функции производится по следующей схеме.

1. Общие особенности функции: область определения, непрерывность и точки разрыва, вертикальные асимптоты, четность – нечетность, периодичность.

В нашем случае область определения функции

;

прямая – вертикальная асимптота, функция общего вида.

2. Нули функции и интервалы знакопостоянства.

Применим метод интервалов для исследования знаков функции.

- + - +

7 10 20

3. Возрастание – убывание функции, точки экстремума. Этот пункт связан с исследованием знаков первой производной функции. Имеем:

Корни квадратного многочлена равны

Знаки определим, используя метод интервалов.

+ - - +

8.6 20 31.4

max min

Точки и являются точками локального максимума и минимума соответственно.

4. Выпуклость – вогнутость функции, точки перегиба. Данный пункт связан с исследованием второй производной функции. Если , то функция выпукла вверх (как функция ), а если , то функция выпукла вниз (как функция ).

+

20

5. Наклонные асимптоты функции.

Наклонная асимптота функции (если она существует) есть такая прямая на плоскости , к которой “прижимается” график функции при , то есть . Коэффициенты и определяются из соотношений

, .

В нашем случае

Следовательно, прямая является наклонной асимптотой функции.