Методы преобразования сложной цепи и определение её эквивалента

Пример 1.1. Для цепи (рис.1.1) требуется определить полное сопротивление R_ЭКВ.СД, и ток I_И

преобразовав цепь из треугольника АВС (R₂, R₅, R₆) в цепь звезды (R₂₅, R₂₆, R₅₆).

R₂ = R₃ = R₄ = R₅ = R₆ = 10(Ом).

R₂₅ = (R₂+R₅)+[(R₂· R₅)/R₆] = 30;

R₂₆ = (R₂+R₆)+[(R₂· R₆)/R₅] =30;

R₅₆ = (R₅+R₆)+[(R₅· R₆)/R₂] = 30. При Е = 5, 1 В, I_И = Е/R_ЭКВ.СД = 0, 1 А.

R_ЭКВ.СД = R₂₅ + [(R₅₆+R₄)(R₂₆+R₃)] / [(R₅₆+R₄+R₂₆+R₃)] = 30+20 = 50 (Ом).

Пример 1.2. Требуется определить полное Z сопротивление для цепи (рис.1.2).

Дано: R₁ = 6; R₂ = 1; R₃ = 5; R₄ = 2; R₅ = 4; R₆ = 8; (Ом).

Решение. Варианты преобразования исходной схемы показаны на рис. 1.2 б, в, г.

1) Вначале найдем значения резисторов при преобразовании их в схеме звезда.

Если преоразовать соединенные звездой резисторы R₄, R₅, R₆ в эквивалентное

соединение треугольником резисторов r₄₅, r₄₆, r₅₆, то получим схему - рис. 1.2 б,

для которой затем определим их эквивалентные величины сопротивлений:

r₄₅ = (R₄+R₅) + (R₄R₅/R₆) = (2+4) + (2· 4/8) = 7(Ом);

r₅₆ = (R₅+R₆) + (R₅R₆/R₄) = (4+8)+(4· 8/2) = 28(Ом);

r₄₆ = (R₄+R₆) + (R₄R₆/R₅ = (2+8)+(2· 8/4) = 14(Ом).

Затем, объединим параллельно и последовательно включенные резисторы и вычислим эквивалентное сопротивление схемы, которое составит: R_ЭКВ = 2, 77 Ом.

2) Аналогично можно преобразовать соединенные треугольником резисторы R₁, R₄, R₅ в эквивалентное соединение звездой резисторов r₁₄, r₄₅, r₁₅ (рис 1.2, в), для которой сопротивления резисторов в эквивалентной схеме звезда, составят:

r₁₄ = R₁R₄/(R₁+R₄+R₅) = (6·2)/(6+2+4) = 1 (Ом);

r₄₅ = R₄R₅/(R₁+R₄+R₅) = (2·4)/(6+2+4) = 0, 66 (Ом);

r₁₅ = R₁R₅/(R₁+R₄+R₅) = (6·4)/(6+2+4) = 2 (Ом).

Эквивалентное сопротивление R_ЭКВ в схеме на рис.1.2, б и рис.1.2, в – аналогично.

Если в схеме 1.2 вместо резисторов включены катушки индуктивностью L, то расчет их эквивалента L_Э выполняют аналогично резисторам [4]. Для подобных схем содержащих конденсаторы, способ расчета приведен в примере 1.3.

Пример 1.3. Пример оп­ределения эквивалентной емкости С_Э для схемы рис. 1.3.

Решение. Рассмотрим пример преобразования из схемы звезда в схему треугольник и обратно. Например, выполним замену емкостей С₃, С₅, С₈, соединенных по схеме звезда (рис. 1.3, а), в эквивалентное соединение по схеме треугольник С₃₅, С₅₈, С₃₈ (рис.1.3, б). Аналогично, выполним обратное преобразование – из схемы треугольник (рис.1.3, б - С₃₅, С₅₈, С₃₈), в схему звезда (рис.1.3, а - С₃, С₅, С₈).

С₃₅ = С₃· С₅/(С₄+С₅+С₈); C₃₅ = (С₃+С₅)+(С₃· С₅/С₈);

С₅₈ = С₅· С₈/(С₃+С₅+С₈); C₅₈ = (С₅+С₈)+(С₃· С₅/С₈);

С₃₈ = С₃· С₈/(С₃+С₅+С₈); C₃₈ = (С₃+С₈)+(С₃· С₈/С₅).

Часто в расчетной схеме к источнику ЭДС (Е) с внутренним сопротивление r_И подключен последовательно или параллельно эквивалент линии - элемент L_Э, C_Э.

После преобразования найдем эквивалентное реактивное Х или полное Z сопротивление всей цепи при последовательном или параллельном их включении.

Х_С.Э = 1 / (2∙ π ∙ f_(ГЦ)∙ C_(Ф)), (Ом); Х_L.Э = (2∙ π ∙ f_(ГЦ)∙ L_(Гн)), (Ом); Z_Э = R² + Х_Э², (Ом);

Z_Э = R²∙ Х_Э² / (R²+Х_Э²) (Ом); (для RL или RC элементов, включенных параллельно).

Пример 1.4. Определить параметры цепи (схема - рис.1.4) методом узлового напряжения и построить потенциальную диаграмму для приведенной схемы.

r₁ = 20; r₂ = 10; r₃ = 15;

r₄ = 9; r₅ =10; r₆ = 5 (Ом);

Е₁=15; Е₂ = 6; Е₃ = 8 (В);

Е₄ = 5, 66 (В);

Положение переключа-телей S₁ и S₂ – повернуты наружу.

Найти: I_A =? I_G =?

U_AG =? → U_Ri =?

Решение. Вначале определим эквивалентное напряжение на участке CD:

U_CD = (Е₂/r₂ – Е₃/r₃) / [(1/r₂) + (1/r₃)] = [(6/10) – (8/20)] / [(1/10) + (1/20)] =

U_CD = (0, 6 –0, 4) / 0, 15 = 1, 33 B. R_CD = (R₂·R₃) / (R₂ + R₃) = 6 (Ом).

2) Определим эквивалентное напряжение и ток при направлении обхода: A→ G:

E_ЭКВ = Е₁– Е_CD – Е₄ = 15 – 1, 33 – 5, 66 = 8 B.

I = E_ЭКВ/R_ЭКВ = 8 / (10+20+6+9+5) = 0, 16 A.

U_AG = +Е₁–U_R1–E_CD –U_CD–U_R4–E₄ = Е₁–I·R₁ –E_CD–I·R_CD–I·R₄–E₄ = +2, 4 B.

Определим разности потенциалов (φ _i - φ _J ) между соседними точками:

φ ₀–φ _А– I·R₅ = 0; φ _А = φ ₀– I·R₅; φ _А = 0–0, 16∙ 10. φ _А = –1, 6 v.

φ _А–φ _В + E₁ = 0; φ _В = φ _А + E₁. φ _В = –1, 6 + 15. φ _В = +13, 4 v.

φ _В–φ _С – I·R₁ = 0; φ _С = φ _В – I·R₁. φ _С = +13, 4 – 3, 2. φ _C = +10, 2 v.

и так далее, до точки φ _G . Затем строят потенциальную диаграмму (рис. 1.4).

=======================================================================================================