Коэффициенты ранговой корреляции.

В практике встречаются случаи, когда необходимо установить тесноту связи между порядковыми (ранговыми) переменными (например, качество жилищных условий, тестовые баллы и т.п.). В этом случае объекты анализа упорядочивают или ранжируют по степени выраженности измеряемых переменных. Если объекты ранжированы по двум признакам, то имеется возможность оценить тесноту связи между переменными, т.е. тесноту ранговой корреляции. Коэффициенты корреляции для этого случая были предложены К. Спирмэном и М. Кендэлом.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена находят по формуле

, (5.33)

где и ранги го объекта по переменным и ; число пар наблюдений.

Если ранги всех объектов равны, т.е. при полной прямой связи, . При полной обратной связи, когда ранги объектов по двум переменным расположены в обратном порядке, .

Иногда сталкиваются со случаями, когда несколько объектов имеют одинаковое значение признака. Тогда всем этим объектам присваивают средний ранг. Например, два объекта 3 и 4 оказались равными, тогда каждому приписывается ранг 3, 5.

При проверке значимости исходят из того, что при статистика

(5.34)

имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. Поэтому значим на уровне значимости , если , где табличное значение критерия Стьюдента.

Пример 5.4.По результатам тестирования 10 студентов по двум дисциплинам А и В на основе набранных баллов получены следующие ранги (Табл. 5.3). Вычислить коэффициент ранговой корреляции Спирмена и проверить его значимость на уровне . Таблица 5.3.                                                                                     -                       По формуле (5.33) . Проверим значимость . По (5.34) вычислим . По таблицам (Приложение) найдем . Т.к. , то коэффициент ранговой корреляции значим на уровне . Связь между оценками дисциплин довольно тесная.

Коэффициент Спирмена может быть использован и для оценки тесноты связи между обычными количественными переменными. Достоинство заключается в том, что не требуется нормального распределения переменных, линейной связи между ними. Однако, при переходе от первоначальных значений переменных к их рангам теряется часть информации.

Чем теснее связь, тем ближе коэффициент корреляции Спирмена к коэффициенту парной корреляции

Пример 5.5.По данным примера 5.1 вычислить коэффициент ранговой корреляции Спирмена и проверить его значимость на уровне .                                                                 9, 5       9, 5     6, 5 6, 5     9, 5 2, 5 2, 5     9, 5             0, 5 1, 5   2, 5 1, 5   0, 5 1, 5       0, 25 2, 25   6, 25 2, 25   0, 25 2, 25   12, 5 По формуле (5.33) . Проверим значимость . По (5.34) вычислим . По таблицам (Приложение) найдем . Т.к. , то коэффициент ранговой корреляции значим на уровне . Связь между оценками дисциплин довольно тесная.

Коэффициент ранговой корреляции Кендэла находят по формуле

, (5.35)

где число пар наблюдений; и , соответственно, число согласованных и несогласованных пар рангов для всех , таких, что . Здесь пары называются согласованными, если оба значения одной пары одновременно больше или меньше обоих значений другой. В противном случае пары называются несогласованными.

Коэффициент Кендэла изменяется в пределах: .

Для проверки значимости сначала вычисляют величину

, (5.36)

а затем статистику

, (5.37)

которая имеет нормальное распределение. Критическое значение берем из таблицы стандартного нормального распределения для двусторонней критической области при уровне значимости α. Если , то коэффициент корреляции значим.

Использование коэффициента ранговой корреляции Кендэла продемонстрируем на данных Примера 5.4.

Пример 5.6.По результатам тестирования 10 студентов по двум дисциплинам А и В на основе набранных баллов получены следующие ранги. Вычислить коэффициент ранговой корреляции Кендэла и проверить его значимость на уровне . Число согласованных пар рангов а число несогласованных пар – По формуле (5.35) . Проверим значимость . По (5.36) вычислим . По (5.37) вычислим . По таблицам (Приложение) найдем . Т.к. , то коэффициент ранговой корреляции значим на уровне . Связь между оценками дисциплин довольно тесная.

Для оценки тесноты множественной связи ранговых переменных также применяют коэффициент конкордации, который будет подробно рассмотрен в Главе 8 (раздел 8.2.1).