Условное математическое ожидание

Между случайными величинами может существовать функциональная зависимость. Например, если x - случайная величина и h =x ², то h - тоже случайная величина, связанная с x функциональной зависимостью. В то же время между случайными величинами может существовать зависимость другого рода, называемая стохастической. В разделе, посвященном условным распределениям уже обсуждалась такая зависимость. Из рассмотренных там примеров видно, что информация о значении одной случайной величины (одной компоненты случайного вектора) изменяет распределение другой случайной величины (другой компоненты случайного вектора), а это может, вообще говоря, изменить и числовые характеристики случайных величин.

Математическое ожидание, вычисленное по условному распределению, называется условным математическим ожиданием.

Для двумерного дискретного случайного вектора (x, h) с распределением

условное математическое ожидание случайной величины x при условии, что случайная величина h принимает значение y_j, вычисляется по формуле .

Аналогично, условное математическое ожидание случайной величины h при условии, что случайная величина x принимает значение x_i, равно .

Видно, что условное математическое ожидание случайной величины x является функцией значений случайной величины h, т.е. M (x /h = y) = f ₁(y) и, совершенно аналогично, M (h /x = x) = f ₂(x).

Функцию f ₁(y) называют регрессией случайной величины x на случайную величину h, а f ₂(x) - регрессией случайной величины h на случайную величину x.

Если p _{(x, h)} (x, y) совместная плотность вероятностей двумерной случайной величины (x, h), то

и .