Теоремы прямого метода Ляпунова и их применение

3.2.1 При изложении прямого метода Ляпунова будем пользоваться дифференциальными уравнениями автоматической системы в форме уравнений первого порядка, или уравнениями состояния, полагая, что они записаны для переходного процесса в отклонениях всех переменных от их значений в установившемся процессе при новых постоянных значениях возмущающего f = f⁰ и задающего g = g⁰ воздействий. Следовательно, эти уравнения для нелинейной системы n - го порядка будут:

(3.12)

где функции произвольны и содержат любого вида нелинейности, но всегда удовлетворяют условию

при (3.13)

так как в установившимся состоянии все отклонения переменных величин и их производные равны нулю по самому определению понятия этих отклонений, то понадобятся в дальнейшем понятие о знакоопределенных, знакопостоянных и знакопеременных функциях.

Пусть имеется функция нескольких переменных Представим себе n -мерное фазовое пространство, в котором являются прямоугольными координатами (это будут, в частности, фазовая плоскость при n=2 и обычное трехмерное пространство при n =3). Тогда в каждой точке указанного пространства функция будет иметь некоторые определенные значения. Нам понадобятся в дальнейшем функции ( ), которые обращаются в нуль в начале координат (т.е. при ) и непрерывны в некоторой области вокруг него.

Функция называется знакоопределенной некоторой области, если она во всех точках этой области вокруг начала координат сохраняет один и тот же знак и нигде не обращается в нуль, кроме только самого начала координат.

Функция называется знакопостоянной, если она сохраняет один и тот же знак, но может обращаться в нуль не только в начале координат, но и в других точках данной области.

Функция называется знакопеременной, если она в данной области вокруг начала координат может иметь разные знаки.

Приведем примеры всех трех типов функций . Пусть n =2 и , это будет знакоопределенная (положительная) функция, так как только тогда, когда одновременно и , и при всех вещественных значениях и . Аналогично при любом n функция будет знакоопределенной положительной, а знакоопределенной отрицательной (см. рисунок 3.3, а).

Если взять функцию при n =3, то она уже не будет знакоопределенной, так как, оставаясь положительной при любых и , она может обращаться в нуль не только при но также и при любом значении , если (т.е. на всей оси , см. рисунок.3.3, б) следовательно, это будет знакопостоянная (положительная) функция.

Наконец, что в некоторых частных задачах нам понадобится также же функция , которая обращается в нуль не в начале координат, а на заданном конечном отрезке АВ (см. рисунок 3.3, в). Тогда знакоопределенность функции будет обозначать ее неизменный знак и не обращение в нуль в некоторой области вокруг этого отрезка.

Рисунок 3.3 - Графические примеры изображения знакоопределенной, знакопостоянной и знакопеременной функций

3.2.2 Функция Ляпунова и ее производная по времени. Любую функцию

(3.14)

тождественно обращающуюся в нуль при будем называть функцией Ляпунова, если в ней в качестве величин взяты те отклонения переменных в переходном процессе:

,

в которых записываются уравнения (3.12) для этой системы.

Производная от функции Ляпунова (3.14) по времени будет

(3.15)

подставив сюда значения из заданных уравнений системы (3.12), получим производную от функции Ляпунова по времени в виде:

где - правые части уравнений (3.12), представляющие собой заданные функции от отклонений .

Следовательно, производная от функции Ляпунова по времени так же, как и сама , является некоторой функцией отклонений, т.е.

(3.17)

причем согласно (3.14) эта функция W так же, как и сама , тождественно обращаются в нуль при значениях . Поэтому к ней в одинаковой степени можно применять все те же понятия знакоопределенности, знакопостоянства и знакопеременности в некоторой области вокруг начала координат, о которых говорилось выше по отношению к функции .

Вообще же метод Ляпунова мо­жет применяться и при наличии времени t в явном виде, в частно­сти, для уравнений (линейных и нелинейных) с переменными коэффициентами.

Базируясь на этих предварительных сведениях, дадим общую формулировку теорем Ляпунова об устойчивости и неустойчиво­сти нелинейных систем и покажем их справедливость. Теоремы эти годятся для исследования устойчивости систем регулирования не только при малых, но и при больших отклонениях, если для них справедливы исходные уравнения данной системы регулиро­вания. Устойчивость системы при любых больших начальных от­клонениях называется коротко устойчивостью в целом.