Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Задание № 1.
|
|
ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ
ИНСТИТУТ
Контрольная работа
по дисциплине «Финансовая математика»
вариант № 4
Исполнитель:
Руководитель:
Новороссийск 2008 г.
Задание № 1.
Приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов).
Требуется:
1) Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учётом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания α 1 = 0, 3; α 2 = 0, 6;
α 3 = 0, 3.
2) Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.
3) Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:
- случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
- независимостей уровней ряда остатков по d -критерию (критические значения d1 = 1, 10 и d2 = 1, 37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r1 = 0, 32;
- нормальности распределения остаточной компоненты по R/S критерию с критическими значениями от 3 до 4, 21.
4) Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.
5) Отразить на графике фактические, расчётные и прогнозные данные.
Решение:
Нам даны данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов).
1. Построим адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учётом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания
α 1 = 0, 3; α 2 = 0, 6; α 3 = 0, 3.
Для оценки начальных значений а (0) и b (0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y(t). Линейная модель имеет вид:
Yр (t) = a (0) + b(0) • t
Метод наименьших квадратов даёт возможность определить коэффициенты линейного уравнения a (0) и b (0) по формулам:
| N | N | |||||||||||
| Ycp = | •Σ Y(t) | tcp = | •Σ N | |||||||||
| N | N | |||||||||||
| 1 | 1 | |||||||||||
| b(0) = = | Σ [Y(t) - Yср] • [t - tср] | ||
| Σ (t - t ср.)2 | |||
| a (0)= | Yср - b(0) • t ср |
1) Ycp = (33 + 42 + 50 + 33 + 36 + 46 + 56 + 34) / 8 = 41, 25
2) t cp = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8) / 8 = 4, 5
3) b (0) = 34 / 42 = 0, 81
4) a (0) = 41, 25 – 0, 81 • 4, 5 = 37, 61
Принимая во внимание найденные значения коэффициентов, линейное уравнение принимает вид: Yр (t) = 37, 61 + 0, 81 • t
Из этого уравнения находим расчётные значения Yр(t) [ для t = от 1 до 8 ] и сопоставляем их с фактическими значениями Y(t).
Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения экономического показателя к значению, рассчитанному по линейной модели.
Поэтому в качестве коэффициента сезонности 1 квартала F(-3) может служить отношение фактических и расчетных значений Y(t) 1-го квартала первого года, равное Y(1) / Yр(1), и такое же отношение для 1-го квартала второго года (т.е. T=5) Y(5) / Yр(5). Для более точной оценки используем среднее арифметическое значение этих двух величин:
F(-3) = [Y(1) / Yр(1) + Y(5) / Yр(5)] / 2 = [ 33 / 38, 42 + 36 / 41, 66 ] / 2 = 0, 8615
Аналогично находим оценки коэффициентов сезонности для 2, 3 и 4 кварталов:
F(-2) = [Y(2) / Yр(2) + Y(6) / Yр(6)] / 2 = [ 42 / 39, 23 + 46 / 42, 47 ] / 2 = 1, 0769
F(-1) = [Y(3) / Yр(3) + Y(7) / Yр(7)] / 2 = [ 50 / 40, 04 + 56 / 43, 28 ] / 2 = 1, 2713
F(0) = [Y(4) / Yр(4) + Y(8) / Yр(8)] / 2 = [ 33 / 40, 85 + 34 / 44, 09 ] / 2 = 0, 7895
Оценив значение a(0) и b(0), а также F(-3), F(-2), F(-1) и F(0), перейдём к построению адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса:
Наилучшими параметрами сглаживания являются 0, 3; 0, 6; 0, 3.
Из уравнения Yр (t + k) = [ a (t) + k • b (t)] • F (t+k-L),
где k - период упреждения = 1
L - период сезонности - для квартальных данных L = 4
t принимаем = 0, тогда Yр(1):
Yр (0 + 1) = Yр (1) = [ a (0) + 1 • b (0)] • F(0 + 1- 4) = [ a (0) + 1 • b (0) ] • F(-3) =
= [ 37, 61 + 1 • 0, 81 ] • 0, 8615 = 33, 1
принимая t = 1, находим:
где а 1 = 0, 3 а (1) = a 1 • Y(1) / F (-3) + (1 – a 1) • [ a (0) + b (0) ] =
= 0, 3 • 33 / 0, 8615 + (1 - 0, 3) • [ 37, 61 + 0, 81 ] = 11, 49 + 0, 7 • 38, 42 = 38, 38
где а 3 = 0, 3 b (1) = a 3 • [ a (1) – a (0) ] + (1 – a 3) • b (0) =
= 0, 3 • [ 38, 38 - 37, 61 ] + (1 - 0, 3) • 0, 81 = 0, 231 + 0, 567 = 0, 798
где а2 = 0, 6 F (1) = a 2 • Y(1) / a (1) + (1 – a 2) • F(-3) =
= 0, 6 • 33 / 38, 38 + (1 - 0, 6) • 0, 8615 = 0, 516 + 0, 3446 = 0, 8606
Дальнейшие расчёты проводим аналогично, для удобства составим таблицу:
Среднее значение погрешности равно 25, 2 / 16 = 1, 56 %. Следовательно, условие точности выполнено.