IV. Решение некоторых типовых заданий. 1. Задано отображение f: (–1;+¥) R, f(x)=ln(x+1).

1. Задано отображение f: (–1; +¥) R, f(x)=ln(x+1).

a. Определить, является ли отображение инъективным.

b. Определить, является ли отображение сюръективным.

c. Определить, является ли отображение биективным.

d. Найти образ отрезка .

e. Найти прообраз отрезка .

Решение.

а) Пусть , тогда ; и ввиду возрастания логарифмической функции , следовательно, отображение инъективно;

b) Из равенства y=ln(x+1) мы видим, что для любого значения

yÎ R существует прообраз , а именно x=e^y– 1, таким образом, отображение сюръективно.

c) Так как отображение инъективно и сюръективно, то оно является биективным.

d) В силу монотонности отображения достаточно найти образы концов заданного отрезка:

; .

Итак, образом отрезка в отображении является , то есть .

e) В силу монотонности отображения достаточно найти прообразы концов заданного отрезка:

;

.

Итак, прообразом отрезка является ,

2. Задано отображение f: R R,

a) Определить, является ли отображение инъективным.

b) Определить, является ли отображение сюръективным.

c) Определить, является ли отображение биективным.

d) Найти образ отрезка .

e) Найти прообраз отрезка

Решение.

a) Для определения инъективности исследуем функцию на монотонность. Вычислим производную функции : . Производная определена и непрерывна при и обращается в нуль при . При и при производная положительна, а, следовательно, функция возрастает. При производная отрицательна, а, следовательно, функция убывает. График функции меняет направление с возрастания на убывание и обратно (можно даже построить его эскиз), следовательно, найдутся два значения и такие, что , а (например,

).

Таким образом, отображение неинъективно.

b) График функции y=f(x) принимает все значения от –¥ до +¥, поэтому можно утверждать что для любого y = найдётся соответствующее значение . Таким образом, отображение сюръективно.

c) Так как отображение неинъективно, то оно не является биективным.

d) На отрезке только одна точка экстремума графика функции . Это точка минимума. Поэтому в этой точке отображение примет наименьшее значение. Для нахождения наибольшего значения подставим значения концов отрезка в формулу f(x):

;

;

.

Образы элементов отрезка расположатся между наименьшим и наибольшим значениями, поэтому образом отрезка является отрезок (то есть ).

e) Для нахождения прообраза отрезка воспользуемся результатами, полученными в предыдущих пунктах. , если , причём функция принимает неотрицательные значения при и при . Значение 2 функция принимает при , причём на отрезке отображение инъективно. Итак, прообразом отрезка является множество чисел то есть .

Примечание.

Данную задачу проще решить, построив график отображения y=f(x).

3. «Декартово произведение множеств».