IV. Решение некоторых типовых заданий. 1. Выяснить, какими свойствами обладает отношение на множестве A, если .

1. Выяснить, какими свойствами обладает отношение на множестве A, если .

Решение.

1. Проверим, обладает ли отношение свойствами группы рефлексивности.

Множество содержит три элемента, каждый из которых находится в отношении сам с собой, а именно:

Таким образом, отношение обладает свойством рефлексивности, и поэтому не может обладать свойством антирефлексивности.

2. Проверим, обладает ли отношение свойствами группы симметричности.

Для каждой пары элементов, принадлежащей множеству , должно выполняться условие: если пара , то пара . Имеем:

Таким образом, отношение обладает свойством симметричности, и поэтому не может обладать свойствами асимметричности или антисимметричности.

3. Проверим, обладает ли отношение свойством транзитивности.

Для каждых 2х пар элементов, принадлежащих множеству , должно выполняться условие: если пары , то пара . Имеем:

и ;

и ;

и ;

и ;

и ;

и .

Кроме того, все пары с одинаковыми элементами (например, (2, 2)) очевидно, обладают свойством транзитивности по отношению к самим себе.

Таким образом, отношение обладает свойством транзитивности.

4. Отношение обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, следовательно, является отношением эквивалентности.

2. На множестве людей рассмотрим отношение " быть одинакового роста". Является ли оно отношением эквивалентности? Если да, то что служит классом эквивалентности?

Решение.

1. Поскольку каждый человек «одинакового роста» сам с собой, то заданное отношение обладает свойством рефлексивности.

2. Если человек А одинакового роста с человеком Б, то всегда человек Б одинакового роста с человеком А. Таким образом, заданное отношение обладает свойством симметричности.

3. Если человек А одинакового роста с человеком Б, и человек Б одинакового роста с человеком В, то всегда человек А одинакового роста с человеком В. Таким образом, заданное отношение обладает свойством транзитивности.

4. Отношение " быть одинакового роста" обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, следовательно, является отношением эквивалентности. Классами эквивалентности являются множества людей одинакового роста друг с другом.