Линейная регрессия и корреляция

Пусть подобраны n статистических значений свободной, объясняющей переменной х и n статистических значений зависимой переменной y. Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров – a и b. Оценки параметров линейной регрессии могут быть обнаружены различными способами. Возможно обратиться к полю корреляции и, подобрав на графике две точки, провести через них прямую линию, после этого по графику найти значения параметров. Параметр a определим как точку пересечения линии регрессии с осью 0y, а параметр b оценим исходя из угла наклона линии регрессии как dy/dx, где dy – приращение результат y, а dx – приращение фактора x, то есть:

Классический способ к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК). Метод наименьших квадратов разрешает получить такие оценки параметров a и b, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака y от расчетных минимальна:

(2.6)

Параметры уравнения линейной регрессии можно вычислить следующим образом:

(2.7)

Решая систему нормальных уравнений найдем искомые оценки параметров a и b. Параметр b называется коэффициентом регрессии. Его значение показывает среднее изменение итога с изменением фактора на одну единицу. Знак при коэффициенте регрессии b указывает направление взаимосвязи: b> 0 – связь прямая, а при b< 0 – связь обратная.

Формально a – значение y при x=0. Если показатель – фактор x не имеет и не может иметь нулевого значения, то трактовка свободного члена a не имеет смысла. Параметр a может не иметь экономического содержания. Попытки экономически интерпретировать параметр а могут привести к абсурду, особенно при a< 0. Интерпретировать можно лишь знак при параметре а. Если a> 0, то относительное изменение результата происходит медленнее, чем изменение фактора. Иначе говоря, вариация тога меньше вариации фактора – коэффициент вариации по фактору x выше коэффициента вариации для результата y:

Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. При использовании линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции Имеются разные модификации формулы линейного коэффициента корреляции, например:

. (2.8)

Линейный коэффициент корреляции находится в границах Если коэффициент регрессии b> 0, то и, наоборот, при b< 0

Значение линейного коэффициента корреляции оценивает тесноту взаимосвязи рассматриваемых признаков в ее линейной форме. В следствии этого близость абсолютной величины линейного коэффициента корреляции к нулю еще не значит отсутствия взаимосвязи между показателями имеет возможность оказаться достаточно тесной.

Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается квадрат линейного коэффициента корреляции называемый коэффициентом детерминации:

(2.9)

Значение коэффициента детерминации является одним из критериев оценки качества линейной модели. Чем больше доля объясненной разновидности, тем согласно с этим меньше роль других факторов и, следовательно, линейная модель хорошо аппроксимирует начальные данные, и ею можно воспользоваться для прогноза значений результативного признака. Линейный коэффициент корреляции по содержанию отличается от коэффициента регрессии. Выступая показателем силы взаимосвязи, коэффициент регрессии b на первый взгляд может быть применен как измеритель ее тесноты. Линейный коэффициент корреляции как измеритель тесноты линейной взаимосвязи показателей логически связан не только с коэффициентом регрессии b, но и с коэффициентом эластичности, который считается признаком силы взаимосвязи, выраженным в процентах. При линейной взаимосвязи признаков x и y средний коэффициент эластичности в общем по совокупности определяется как

. (2.10)

В данном случае, измерителем тесноты связи выступает линейный коэффициент корреляции, а коэффициент регрессии и коэффициент эластичности – показатели силы связи: коэффициент регрессии является абсолютной мерой, ибо имеет единицы измерения, присущие изучаемым признакам x и y, а коэффициент эластичности – относительным показателем силы связи, потому что выражен в процентах.

Несмотря на всю значимость измерителя тесноты взаимосвязи, в эконометрике большой практический интерес приобретает коэффициент детерминации, потому как он дает условную меру воздействия фактора на тог, фиксируя одновременно и роль ошибок, то есть случайных составляющих в формировании моделируемой переменной. Чем ближе коэффициент детерминации к 1, тем большей степени уравнение регрессии пригодно для прогнозирования. [И. И. Елисеева с. 51]