Интервальный прогноз на основе линейного уравнения регрессии.

В прогнозных расчетах по уравнению регрессии определяется предсказываемое значение как точечный прогноз при то есть путем подстановки в линейное уравнение регрессии соответствующего значения x. Однако точечный прогноз явно нереален, поэтому он дополняется расчетом стандартной ошибки то есть , и соответственно мы получаем интервальную оценку прогнозного значения :

(2.29)

Для того чтобы понять, как строится формула для определения величин стандартной ошибки тогда уравнение регрессии примет вид:

(2.30)

Отсюда следует, что стандартная ошибка зависит от ошибки и ошибки коэффициента регрессии b, то есть:

(2.31)

Из теории выборки известно, что

Используя в качестве оценки остаточную дисперсию на одну степень свободы , получим формулу расчета ошибки среднего значения переменной y:

(2.32)

Ошибки коэффициента регрессии, как уже было показано, определяется формулой

(2.33)

Считая, что прогнозное значение фактора , получим следующую формулу расчета стандартной ошибки предсказываемого по линии регрессии значения, то есть

. (2.34)

Соответственно имеет выражение:

(2.35)

Рассмотренная формула стандартной ошибки предсказываемого среднего значения y при заданном значении характеризует ошибку положения линии регрессии. Величина стандартной ошибки достигает минимума при и возрастает по мере того, как «удаляется» от в любом направлении. Иными словами, чем больше разность между и , тем больше ошибки , с которой предсказывается среднее значение y для заданного значения . Можно ожидать наилучшие результаты прогноза, если признак-фактор х находится в центре области наблюдений х, и нельзя ожидать хороших результатов прогноза при удалении от . Если же значение оказывается за пределами наблюдаемых значений х, используемых при построении линейной регрессии, то результаты прогноза ухудшаются в зависимости от того, насколько отклоняется от области наблюдаемых значений фактора х. [И. И. Елисеева с. 72]