Построение модели парной регрессии

Линейная регрессия находит широкое применение в эконометрике ввиду четкой экономической интерпретации ее параметров. Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида:

или

Уравнение позволяет по заданным значениям фактора x иметь теоретические значения результативного признака подстановкой в него фактических значений фактора x.

Расчет параметров уравнения линейной регрессии.

Таблица 1. Исходные данные.

Примечание: Данные граф 3, 4 взяты из статистики Госкомстат и Статинфо.

С помощью табличного процессора Excel, вычислим коэффициенты модели парной регрессии и проверим значимость уравнения регрессии (таблица 2).

Таблица 2. Уравнение регрессии y = a + bx

Примечание: режим регрессия, пакет анализа Microsoft Excel

С помощью СТЬЮДРАСПОБР tкр, tкр= 2, 144. Сравнивая значения t- статистики с рассчитанным критерием, получаем: значение всех переменных (X= -4, 48) по модулю больше чем tкр= 2, 144, а значит, фактор значим. Итоговое уравнение имеет вид:

Y= 9, 14695 – 0, 00006X.

Коэффициент этого уравнения показывает, что снижение ВВП способствует снижению уровня безработицы.

Далее следует выявить значимость выбранного фактора. Для этого следует определить адекватность построенной модели.

Рассмотрим коэффициент детерминации . Данный коэффициент показывает долю полной вариации объясняемой переменной, она детерминирована объясняющими переменными. Для полученной нами регрессии коэффициент детерминации это означает что модель примерно на 86% раскрывает степень влияния фактора, то есть модель имеет высокую значимость.

Коэффициент множественной регрессии R=0, 93, он показывает тесноту связи зависимой переменной (уровень безработицы) с объясняющим фактором, входящим в модель регрессии.

Далее оценим адекватность модели по F-критерию Фишера. Для этого воспользуемся функцией FРАСПОБР в программе Microsoft Excel. Получаем , =4, 75. Получаем что табличное значение меньше, следовательно, модель адекватна и пригодна для использования.

Найдем среднюю ошибку аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации – это среднее отклонение расчетных значений от фактических. Для этого воспользуемся остатками модели

Таблица 3. Вывод остатков

Примечание: режим регрессия, пакет анализа Microsoft Excel

Таблица 4. Расчетная таблица для вычисления средней ошибки аппроксимации.

t	Уровень безработицы, %	ВВП, в млрд.руб
	Y	Х
	10, 6	7305, 6	8, 739816	1, 9	1, 9	0, 179245
	9, 0	8943, 6	8, 648535	0, 4	0, 4	0, 044444
	7, 9	10830, 5	8, 543376	-0, 6	0, 6	0, 055949
	8, 2	13208, 2	8, 410869	0, 2	0, 2	0, 02439
	7, 8	17027, 2	8, 198041	-0, 4	0, 4	0, 051282
	7, 1	21609, 8	7, 942657	-0, 8	0, 8	0, 012676
	7, 1	26917, 2	7, 646877	-0, 5	0, 5	0, 070423
	6, 0	33247, 5	7, 294093	-1, 3	1, 3	0, 016667
	6, 2	41276, 8	6, 846624	-0, 6	0, 6	0, 096774
	8, 3	38807, 2	6, 984255	1, 3	1, 3	0, 156627
	7, 3	46308, 5	6, 566211	0, 7	0, 7	0, 09589
	6, 5	55644, 0	6, 045951	0, 5	0, 5	0, 076923
	5, 5	61810, 8	5, 702279	-0, 2	0, 2	0, 036364
	5, 5	66689, 1	5, 430417	0, 1	0, 1	0, 018182

Примечание: данные графы 2, 3 взяты из статистики Госкомстат и Статинфо; данные графы 4 предсказанное Y из таблицы 3; данные графы 5 получены путем вычитания из графы 2 графу 5; данные графы 6 это данные графы 5 по модулю; данные графы 7 получены путем деления графы 6 на графу 2.

Таким образом, по формуле (2.22), получаем

Поскольку ошибка меньше 10%, то можно говорить о хорошем подборе модели к исходным данным.

Проанализируем уравнение регрессии полностью, то есть проверим выполняются ли предпосылки метода наименьших квадратов (МНК).

Исследование остатков предполагает проверку присутствие следующих пяти предпосылок МНК:

§ случайный характер остатков;

§ нулевая средняя величина остатков, не зависящая от ;

§ гомоскедастичность – дисперсия каждого отклонения одинакова для всех значений

§ отсутствие автокорреляции остатков – значения распределены независимо друг от друга;

§ остатки подчинены нормальному распределению.

Для анализа используем таблицу 3.

Остатки исследуемого тренда образуют S= 5 серии, уровень значимости равен 0, 05. В таблице «Критерии значения для количества серий» находим критические значения (Таблицы, стр. 354). Получаем, что , следовательно, аналитическая форма модели выбрана удачно.

Определим случайный характер остатков. Построим график отклонений фактических значений от теоретических значений признака.

Рисунок 3.1. Фактические и теоретические значения уровня безработицы в Российской Федерации с 2000 по 2013 гг.

На рис. 3.1 показано как построенная модель парной регрессии аппроксимирует уровень безработицы в Российской Федерации с 2000 по 2013 года.

Рисунок 3.2 График остатков.

На рисунке 3.2 показан график остатков, получена горизонтальная полоса, которая показывает, что остатки представляют собой случайные величины и применение МНК оправдано.

Далее нужно определить присутствие зависимости остатков от . Рассмотрим нулевую величину остатков, которая не зависит от . В качестве критерия рассмотрим статистику:

где – среднее арифметическое остатков – стандартное отклонение.

Рассчитаем критерий t-теста Стьюдента для m=n-1, m=14-1=13 степеней свободы и для уровня значимости 0, 05. Определим с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР в Microsoft Excel. Если I* I, то математическое ожидание случайных отклонений несущественно отличается от 0, то есть отклонение признается несмещенным. В противно случае мат ожидание отличается от 0, значит отклонение признается смещенным. Так как модель линейная и построена по МНК, то значит и I тоже равно 0. Получились такие результаты: I*= 2, 160, значит I* является критическим значением. Получается, что I* I, то есть отклонение несмещенное.

Далее проверим отсутствие автокорреляции остатков с помощью критерия Дарбина – Уотсона в нашем случае.

Таблица 5. Вспомогательная таблица для вычисления критерия Дарбина-Уотсона

t	Y
	10, 6	8, 739815768	1, 860184	-	-	3, 460285
	9, 0	8, 64853471	0, 351465	-1, 50872	2, 2762328	0, 123528
	7, 9	8, 543376129	-0, 64338	-0, 99484	0, 9897094	0, 413933
	8, 2	8, 410868605	-0, 21087	0, 432508	0, 1870628	0, 044466
	7, 8	8, 19804074	-0, 39804	-0, 18717	0, 0350334	0, 158436
	7, 1	7, 94265699	-0, 84266	-0, 44462	0, 1976836	0, 710071
	7, 1	7, 646877219	-0, 54688	0, 29578	0, 0874857	0, 299075
	6, 0	7, 29409327	-1, 29409	-0, 74722	0, 5583318	1, 674677
	6, 2	6, 846623869	-0, 64662	0, 647469	0, 4192166	0, 418122
	8, 3	6, 984254694	1, 315745	1, 962369	3, 8508928	1, 731186
	7, 3	6, 566211116	0, 733789	-0, 58196	0, 3386733	0, 538446
	6, 5	6, 045951383	0, 454049	-0, 27974	0, 0782546	0, 20616
	5, 5	5, 702278662	-0, 20228	-0, 65633	0, 4307655	0, 040917
	5, 5	5, 430416845	0, 069583	0, 271862	0, 0739088	0, 004842
Итого					9, 5232512	9, 824144

Примечание: данные графы 2 взяты из статистики Госкомстат и Статинфо; данные графы 2 это предсказанное Y взяты из таблицы 3; данные графы 4 остатки взяты из таблицы 3; данные графы 5 получены путем вычитания из последующего значения предыдущего; данные графы 6 получены путем возведения в квадрат графы 5; данные графы 7 получены путем возведения в квадрат графы 4.

Таким образом, получаем из (2.27), что .

Из таблицы «Значения статистики Дарбина-Уотсона» [Елисеева стр. 566] определим критические значения критерия Дарбина-Уотсона 1, 05 и для заданного числа наблюдений 14 и числа независимых переменных модели равного 1, уровня значимости α =0, 05.

Получаем, что 1, 34< 0, 97< -0, 34, это говорит о том, что нет оснований отклонять гипотезу об отсутствии автокорреляции в остатках.

Проверим наличие гетероскедастичности в остатках регрессии с помощью рангового коэффициента Спирмена. Суть этой проверки заключается в том, что в случае гетероскедастичности абсолютные остатки коррелированы со значением фактора . В таблице 6 показан расчет рангового коэффициента Спирмена.

Таблица 6. Расчет рангового коэффициента корреляции Спирмена.

№
Итого

Примечание: данные графы 2 получены путем ранжирования от большего к меньшему графы 4 таблицы 1; данные графы 3 получены путем ранжирования значений, взятых по модулю от меньшего к большему графы 4 таблицы 2.

После присвоения х рангов (табл. 6), нужно найти абсолютные разности между ними, возвести их в квадрат и просуммировать, затем полученные значения подставить в формулу (2.25) для расчета коэффициента ранговой корреляции Спирмена по каждому фактору.

Таблица 7. Расчет коэффициента ранговой корреляции Спирмена.

№
	-2
	-5
	-1
	-5
	-4
	-3
	-13
Итого

Примечание: данные графы 2 получены путем вычитания из графы 3 таблицы 6 графы 2 таблицы 6; данные графы 3 получены путем возведения в квадрат графы 2.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена для Х равен:

Статистическую значимость коэффициента можно определить с помощью t-критерия (2.26).

Таким образом, получаем:

Далее сравним эту величину с табличной величиной, рассчитанной с помощью функции в Microsoft Exel СТЬЮДРАСПОБР при α =0, 05 и числе степеней свободы n=2=14-2=12;

Получается что, , тогда принимается гипотеза об отсутствии гетероскедастичности остатков.

Далее исследуем остатки на наличие нормальности распределения с помощью теста Шапиро-Уилка.

Таблица 8. Расчетная таблица для вычисления статистики W

№
	1, 8602	-1, 2941	1, 6747	0, 7251	-1, 7906	2, 5157
	0, 3515	-0, 8427	0, 7101	1, 3318	-0, 5537	1, 8855
	-0, 6434	-0, 6466	0, 4181	0, 7460	1, 0974	-0, 3514
	-0, 2109	-0, 6434	0, 4139	0, 1802	1, 1318	-0, 9516
	-0, 3980	-0, 5469	0, 2991	0, 1240	1, 7138	-1, 5898
	-0, 8427	-0, 3980	0, 1584	0, 9727	0, 1960	0, 7767
	-0, 5469	-0, 2109	0, 0445	0, 0240	-0, 7472	0, 7712
	-1, 2941	-0, 2023	0, 0409
	-0, 6466	0, 0696	0, 0048
	1, 3157	0, 3515	0, 1235
	0, 7338	0, 4540	0, 2062
	0, 4540	0, 7338	0, 5384
	-0, 2023	1, 3157	1, 7312
	0, 0696	1, 8602	3, 4603
Итого			9, 8241			3, 0563

Примечание: данные графы 2 - это остатки из табл.2, данные графы 3 получены путем ранжирования от меньшего к большему графы 2, данные графы 4 получены путем возведения квадрат графы 3, данные графы 5 взяты из табл. [https://www.machinelearning.ru/wiki/index.php? title], данные графы 6 получены путем вычитания соответствующего, но номеру значения из графы 3, данные графы 7 получены путем умножения графы5 на графу 6.

Так как

Из таблицы выбираем критическое значение W*, для n=14 и уровня значимости α = 0, 05, W*= 0, 874. Так как W> W*, то можно утверждать о том, что распределение случайных отклонений нормальное. Все предпосылки МНК выполнены, что говорит о качестве полученных оценок параметров эконометрической модели.

Рассчитаем средний коэффициент эластичности по формуле (2.10):

Таким образом, ВВП является статистически значимым фактором, оказывающим влияние на уровень безработицы в Российской Федерации.