Примеры решения задач. Пример 1. Определить для серной кислоты: 1) относи­тельную молекулярную массу Мr 2) молярную массу M

Пример 1. Определить для серной кислоты: 1) относи­тельную молекулярную массу М_r 2) молярную массу M

Решение. 1. Относительная молекулярная масса вещества равна сумме относительных атомных масс всех элементов, атомы которых входят в состав молекулы дан­ного вещества, и определяется по формуле

M_r = ∑ n_iA_r, _i, (1)

где n _i — число атомов f -го элемента, входящих в моле­кулу; A_{r, i}— относительная атомная масса i-го элемента.

Химическая формула серной кислоты имеет вид H2S04. Так как в состав молекулы серной кислоты входят атомы трех элементов, то стоящая в правой части равенства (1) сумма будет состоять из трех слагаемых и эта формула примет вид

M_r == n₁Ar, ₁ + п₂А₂, ₂ + n ₃А₃, ₃ (2)

Из формулы серной кислоты далее следует, что n ₁==2 (два атома водорода), n ₂==1 (один атом серы) и n ₃==4 (четыре атома кислорода).

Значения относительных атомных масс водорода, серы и кислорода найдем в таблице Д. И. Менделеева или в табл. 14 Приложения:

A _r, ₁ ==1, A _r, 2 =32, A _r, з ==16.

Подставив значения n_i и A_r, _i в формулу (2), найдем относительную молекулярную массу серной кислоты:

М_r s == 2 • 1 + 1 • 3 2 + 4 • 16 == 9 8.

2. Зная относительную молекулярную массу M_r, най­дем молярную массу серной кислоты по формуле

M = M_rk, (3)

где k==10^-3 кг/моль.

Подставив в (3) значения величин, получим

M ==98-10~³ кг/моль.

Пример 2.Определить молярную массу M смеси кис­лорода массой m ₁ ==25 г и азота массой M ₂==75 г.

Решение. Молярная масса смеси М есть отноше­ние массы смеси т к количеству вещества смеси v:

M == m /v. (1)

Масса смеси равна сумме масс компонентов смеси:

m = m ₁ + m ₂,

Количество вещества смеси равно сумме количеств вещества компонентов:

v = v₁+ v₂ = m ₁ / M ₁ + m ₂ / M ₂

Подставив в формулу (1) выражения т и v, получим

M ₌ m ₁ + m _{2_______}

m 1/ M _{1 +} m ₂/ M ₂

Применив метод, использованный в примере 1, найдем молярные массы кислорода M ₁ и азота M ₂

M ₁==32-10~³ кг/моль; M ₂==28-10~³ кг/моль.

Подставим значения величин в (2) и произведем вы­числения:

молекулы воды. Считая условно, что молекулы воды имеют вид шариков, соприкасающихся друг с другом, найти диаметр d мо­лекул.

Решение. Число N молекул, содержащихся в не­которой системе массой т, равно произведению постоян­ной Авогадро n _A на количество вещества v:

Так как v = m / M, где М — молярная масса, то N = mN _A/ M. Выразив в этой формуле массу как произведение плотности на объем V, получим

Произведем вычисления, учитывая, что M ==18 x 10^-3 кг/моль (см. табл. 14 Приложения):

N = 10³∙ 10^-9 / 18∙ 10^-3 ∙ 6, 32∙ 10²³ молекул = 3, 34∙ 10¹⁹ молекул. Массу m одной молекулы можно найти по формуле

Подставив в (1) значения М и na, найдем массу моле­кулы воды:

Если молекулы воды плотно прилегают друг к другу, то можно считать, что на каждую молекулу приходится объем (кубическая ячейка) V₁ = d ³, где d — диаметр мо­лекулы. Отсюда

Объем V найдем, разделив молярный объем V _m на число молекул в моле, т. е. на na:

Подставим выражение (3) в (2):

где V _m = M /p. Тогда

Проверим, дает ли правая часть выражения (4) единицу длины:

Произведем вычисления:

Пример 4. В баллоне объемом 10 л находится гелий под давлением p₁ = 1 МПа и при температуре T ₁=300 К. После того как из баллона было взято m ==10г гелия, температура в баллоне понизилась до T ₂=290К. Опре­делить давление p₂ гелия, оставшегося в баллоне.

Решение. Для решения задачи воспользуемся уравнением Менделеева—Клапейрона, применив его к конечному состоянию газа:

где m ₂ — масса гелия в баллоне в конечном состоянии;

M — молярная масса гелия; R — молярная газовая по­стоянная.

Из уравнения (1) выразим искомое давление:

Массу m ₂ гелия выразим через массу m ₁, соответству­ющую начальному состоянию, и массу m гелия, взятого из баллона:

Массу m ₁ гелия найдем также из уравнения Менде­леева — Клапейрона, применив его к начальному со­стоянию:

Подставив выражение массы m ₁ (3), а затем выра­жение m ₂ в (2), найдем

или

Проверим, дает ли формула (5) единицу давления. Для этого в ее правую часть вместо символов величин подставим их единицы. В правой части формулы два слагаемых. Очевидно, что первое из них дает единицу давления, так как состоит из двух множителей, первый из которых (T ₂ /T ₁) — безразмерный, а второй—давле­ние. Проверим второе слагаемое:

Паскаль является единицей давления. Произведем вычисления по формуле (5), учитывая, что М== = 4 • 10" ³ кг/моль (см. табл. 14 Приложения):

Пример 5. Баллон содержит m ₁ =80 г кислорода и m ₂==320 г аргона. Давление смеси p = 1 МПа, температу­ра T ==300К. Принимая данные газы за идеальные, определить объем V баллона.

Решение. По закону Дальтона, давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси. По уравнению Менделеева — Клапейрона, парциальные давления p кислорода и p₂ аргона выра­жаются формулами

Следовательно, по закону Дальтона, давление смеси газов

откуда объем баллона

Произведем вычисления, учитывая, что A fi =32X X 10~³ кг/моль, A f 2=40- 1СГ³ кг/моль (см. табл. 14 При­ложения):

Пример 6. Найти среднюю кинетическую энергию (ε _вр) вращательного движения одной молекулы кислоро­да при температуре T ==350К, а также кинетическую энергию E _k вращательного движения всех молекул кислорода массой m ==4 г.

Решение. На каждую степень свободы молекулы газа приходится одинаковая средняя энергия (ε ₁) = ½ kT, где k — постоянная Больцмана; Т — термодина­мическая температура газа. Так как вращательному движению двухатомной молекулы (молекула кислоро­да — двухатомная) соответствуют две степени свободы, то средняя энергия вращательного движения молекулы кислорода

Кинетическая энергия вращательного движения всех молекул газа

Число всех молекул газа

где na — постоянная Авогадро; v — количество веще­ства.

Если учесть, что количество вещества v= m/M, где m — масса газа; М — молярная масса газа, то формула (3) примет вид

Подставив выражение N в формулу (2), получаем

Произведем вычисления, учитывая, что для кислорода М ==32-Ю" " ³ кг/моль (см. табл. 14 Приложения):

Пример 7. Вычислить удельные теплоемкости при постоянном объеме су и при постоянном давлении C_vнеона и водорода, принимая эти газы за идеальные.

Решение. Удельные теплоемкости идеальных газов выражаются формулами

где i — число степеней свободы молекулы газа; М — мо­лярная масса. Для неона (одноатомный газ) i=3 и M == 20 • 10" ~³ кг/моль (см. табл. 14 Приложения). Произведем вычисления:

Пример 8. Вычислить удельные теплоемкости с _v и c_p смеси неона и водорода, если массовые доли неона и водорода составляют w₁ =SO% и w₂==20%. Значения удельных теплоемкостей газов взять из предыдущего примера.

Решение. Удельную теплоемкость су смеси при постоянном объеме найдем следующим образом. Теплоту, необходимую для нагревания смеси на ЛГ, выразим двумя способами:

где с _v, ₁ — удельная теплоемкость неона; c_v, ₂ — удельная теплоемкость водорода.

Приравняв правые части (1) и (2) и разделив обе части полученного равенства на ∆ T, получим сv(m ₁ + m ₂) = с_{v, 1} m ₁ + с_{v, 2} m ₂). Отсюда

или

s

Рассуждая так же, получим формулу для вычисления удельной теплоемкости смеси при постоянном давлении:

Произведем вычисления:

Пример 9. Кислород массой m =2кг занимает объем V₁=1м³ и находится под давлением р₁==0, 2МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V₂=3м³, а затем при постоянном объеме до давления p₃==0, 5МПа. Найти изменение ∆ U внутренней энергии газа, совершенную им работу А и теплоту Q, передан­ную газу. Построить график процесса.

Решение. Изменение внутренней энергии газа

где i — число степеней свободы молекул газа (для двух­атомных молекул кислорода i =5); ∆ T = T з – T ₁ — раз­ность температур газа в конечном (третьем) и начальном состояниях.

Начальную и конечную температуру газа найдем из уравнения Менделеева—Клапейрона pV= m / MRT, откуда

Работа расширения газа при постоянном давлении выражается формулой

Работа газа, нагреваемого при постоянном объеме, равна нулю:

Следовательно, полная работа, совершаемая газом,

Согласно первому началу термодинамики, теплота Q, переданная газу, равна сумме изменения внутренней энергии △ U и работы A:

Произведем вычисления, учтя, что для кислорода A1=32•10^—3 кг/моль (см. табл. 14 Приложения):

График процесса приведен на рис. 7.

Пример 10. В цилиндре под поршнем находится водо­род массой m =0, 02кг при температуре T ₁==300 K. Водород сначала расширился адиабатно, увеличив свой объем в n ₁ = 5 раз, а затем был сжат изотер­мически, причем объем газа умень­шился в n ₂ == 5 раз. Найти темпера­туру в конце адиабатного расшире­ния и работу, совершаемую газом при этих процессах. Изобразить процесс графически.

Решение. Температуры и объ­емы газа, совершающего адиабат­ный процесс, связаны между собой соотношением

где γ — отношение теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме; n ₁ = V₂/V₁.

Отсюда получаем следующее выражение для конечной температуры:

Работа A газа при адиабатном расширении может быть определена по формуле

где C_v — молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. Работа A₂ газа при изотермическом процессе может быть выражена в виде

Произведем вычисления, учитывая, что для водорода как двухатомного газа γ =1, 4, i=5 и M =2•10^—з кг/моль:

Так как 5^{0, 4}=1, 91 (находится логарифмированием),

то

Знак минус показывает, что при сжатии работа газа совершается над газом вне­шними силами.

График процесса приве­ден на рис. 8.

. Пример 11. Тепловая ма­шина работает по обратимо­му циклу Карно. Температу­ра теплоотдатчика T ₁ = 500 К. Определить термический КПД η цикла и температуру T ₂ теплоприемника тепловой машины, если за счет каждого кило­джоуля теплоты, полученной от теплоотдатчика, машина совершает работу А == 350 Дж.

Решение. Термический КПД тепловой машины показывает, какая доля теплоты, полученной от тепло­отдатчика, превращается в механическую работу. Терми­ческий КПД выражается формулой

где Q ₁—теплота, полученная от теплоотдатчика; A— работа, совершенная рабочим телом тепловой машины.

Зная КПД цикла, можно по формуле T ₂= (T ₁ - η) определить температуру охладителя T ₂:

Произведем вычисления:

Пример 12. Найти добавочное давление внутри мыль­ного пузыря диаметром d =10cм. Какую работу нужно совершить, чтобы выдуть этот пузырь?

Решение. Пленка мыльного пузыря имеет две сферические поверхности: внешнюю и внутреннюю. Обе поверхности оказывают давление на воздух, заключенный внутри пузыря. Так как толщина пленки чрезвычайно мала, то диаметры обеих поверхностей практически одинаковы. Поэтому добавочное давление

где r — радиус пузыря. Так как r = d /2, то

Работа, которую нужно совершить, чтобы, растягивая пленку, увеличить ее поверхность на ∆ S, выражается формулой

A==α ∆ S, или A =α (S -— S o).

В данном случае S — общая площадь двух сферических поверхностей пленки мыльного пузыря; So — общая площадь двух поверхностей плоской пленки, затягивав­шей отверстие трубки до выдувания пузыря. Пренебре­гая S o, получаем

Произведем вычисления: