Золотые» сечения круга

О «золотой» пропорции и «золотом» сечении за всю известную историю развития математики написано так много, что только библиографический список трудов может составить увесистый том. Понятие «золотой пропорции» исходит от пропорциональности отношения частей и целого: целое так относится к своей большей части, как большая часть к меньшей. По сути – это всеобщая формула закона гармонии бытия и творения окружающей нас действительности и нас самих. Конституция человека, как подтверждают последние исследования – геометрический аналог «сборки» по принципу «золотой» пропорции.

Какой же ее онтологический смысл, а точнее – природный аналог, выраженный в геометрической форме? Современная математика конкретного ответа на данный вопрос не имеет.

Геометрический аналог «золотой пропорции» традиционно отождествляют с гармоничным делением («золотым» сечением) некого абстрактного отрезка АВ (Рис. 4) в крайнем и среднем отношении на две части таким образом, что большая его часть АС является средней пропорциональной между всем отрезком АВ и меньшей его частью СВ и имеет числовое значение Ф - 0, 618033988945a.

Принцип «золотого» сечения круга в евклидовой геометрии имеет проявление при построении правильного, вписанного в окружность 10-угольника, правильной пятиконечной звезды, а так же деления в отношениях «золотой пропорции» сторон квадрата, прямоугольника и других геометрических фигур прямолинейного построения. Принцип «золотого» сечения круга круговым движением современная геометрия не знает.

На Рис. 5 стороной 10-угольника является хорда АВ. Числовое значение секущей круг хорды, вписанного 10-угольника, равно: АВ= r 0, 618033988945r. Хорда АВ стягивает дугу 0, 628318r, т.е. равную 1/10 периметра круга. Из данного факта, очевидно, что «золотое сечение» геометрически связано не с абстрактным отрезком прямой, а с радиусом данного круга. Вместе с тем, очевидно так же, что секущая хорда АВ не делит площадь данного круга в отношении «золотого» сечения. Из Рис.5 так же очевидно, что деление круга на 10 равных частей связано с десятичной системой счета, то есть – с натуральным рядом чисел. Если мы запишем последовательно цифры, так называемого, натурального ряда чисел: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 22; 23; … и сократим («приведем») к цифровому корню древним эзотерическим методом (например, 1938 = 1+9+3+8 =21=2+1= 3), то мы получим периодическое (круговое) движение группы одних и тех же цифр: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 1; 2; 3; 4; 5; …, начинающихся с «1» (монады) и заканчивающихся «9» (эннеадой). Из Рис.5, очевидно так же то, что хорда АВ не делит данный круг на части в отношении «золотого сечения». Думается, произвести такую геометрическую операцию было желание у многих математиков, но как это осуществить они не знали.

«Золотое» сечение круга на части «А» и «В», аналогичное «золотому» сечению отрезка, производится континумой, радиусами которой будут соответственно R₁ 0, 618033988945r и R₂ 0, 381966r, где r – радиус данного круга, делимого в отношении «золотого» сечения. То есть, если площадь данного круга равна 1, то площадь его частей: А 0, 618; В 0, 382.

Таким образом, в данной геометрической форме (Рис. 6) «золотого» сечения круга мы имеем очевидное проявление триединства континуумного синтеза мер: «золотого» сечения радиуса круга; «золотого» сечения континумы и «золотого» сечения круга.

Континуумный синтез мер гармоничного («золотого») пропорционирования в проективной геометрии хорошо демонстрируется Рис.7. Собственно в этом комплексном рисунке и есть образец проявления синтетической геометрии триалектики на плоскости Евклида. В этом есть вклад (о котором писал Н.И.Лобачевский) триалектики в дальнейшее развитие геометрии Евклида.

Я не стану описывать порядок построения, демонстрируемого здесь читателю рисунка с помощью циркуля и линейки с делениями, где О₁О₂=R (R – радиус круга О); СO₂ 0, 618R; АО₁ 0, 382R; … Хочу обратить внимание читателя на треугольник АВС, на интересное отношение его сторон. При вычислении оказалось, что ВС 0, 894427R. а АВ 0, 894427d (d — диаметр круга О). Здесь очевидная корреляция меры «золотой» пропорции с мерой вещественного числа. Я также не стану приводить здесь доказательство того, что хорда АВ, касательная к окружности с центром О₂, приближенно равна стороне квадрата, который равновелик по площади выпуклому кругу с центром О, очерченному на поверхности сферы. Возможно – это самый простой и естественный для природы способ решения «задачи квадратуры круга» для «выпуклого» квадрата сферической поверхности.

Данным рисунком я хочу сосредоточить внимание читателя всего лишь на его визуальное восприятие решения важнейших задач проективной геометрии мерой континумы. При этом еще раз повторюсь, что мерой континуумы, в свою очередь и в конечном итоге, является радиус кругового движения. Наблюдательный читатель сразу заметит явную корреляцию «золотого» пропорционирования большого (целого) круга и меньших кругов (его частей), большого целого квадрата и его прямоугольных и треугольных частей. В данном, комплексном рисунке проявляется триединство: «золотого» сечения радиуса круга; «золотое» сечение круга континумой и «золотое» сечение самой континуумы «золотым» сечением радиуса данного круга.

Таким образом, данным комплексным рисунком выражены онтологические начала синтетической геометрии триалектики, как говорится, на поле евклидовой геометрии, то есть выражено триединство континуумных форм: предельной континуумы, круга и торсиона. Кто всего этого не заметил, всмотритесь в Рис. 7 внимательней еще раз и попытайтесь что-то опровергнуть.

Далее я хочу представить читателю ряд рисунков для визуального наблюдения. Надеюсь, что эти рисунки помогут понять гелиоценризм синтетической геометрии триалектики, геометрическую сущность «вещественного» числа и закона его движения, формообразование топологии круговым движением и, как говорится, навести некий «континуумный мост» к следующей части описания начал синтетической геометрии, то есть перейти от описания начал синтетической геометрии-математики к описанию начал синтетической геометрии-физики. А это, значит перейти от описания континумного деления площади круга (ортогонального сечения континуумной «нити», «струны») к описанию континуумного синтеза, т.е. кругового движения самой континуумы.

Мостиком для перехода от геометрии-математики к геометрии-физике является понимание онтологической сущности (геометрического аналога) вещественного числа. В 1996 году профессор Л.И.Волгин – автор комплементарной и других алгебр, был первым, кто дал научную оценку «вещественному» числу, выделенному мной из действительных чисел. Свое отношение по поводу открытия «вещественного» числа он излагал во многих своих публикациях. Процитирую одно из его высказываний:

«Одним из фундаментальных обобщений символических (математических) логик является отображение противоположных сущностей на двухэлементное множество{0, 1}. «Ноль и единица от Бога, остальное дело рук человеческих» (Кронекер). Триалектика добавляет к этим «магическим» числам число «1/2=0, 5». Действительно, «1/2» является единственным числом инвариантным к унитарной операции инверсии чисел на интервале [0, 1] числовой оси: 0, 5=(0+1)-0, 5=0, 5, где 0, 5*(0+1) есть центр интервала [0, 1], мощность которого эквивалентна мощности континуума [ – , ] (часть целого «равна» целому)».¹

В геоцентрической геометрии Евклида делить круг на части принято концентрическими линиями, удаленными на разное расстояние от центра круга. Другой способ деления круга на части – прямыми линиями. В гелиоцентрической геометрии и геоцентрической геометрии деление круга, например, на 10 равных частей существенно отличается. Сравнивая Рис. 5 и 8 дадим краткий комментарий вышеприведенной цитате.

Л.И.Волгин утверждает, что «мощность вещественного числа» эквивалентна мощности континуума [ – , ] (часть целого «равна» целому)». Но его утверждение, скажет недоверчивый читатель, имеет смысловое и геометрическое отношение только к «унитарной операции инверсии чисел на интервале [0, 1] числовой оси: 0, 5=(0+1)-0, 5=0, 5. Чтобы проверить верность утверждения профессора Л.И.Волгина, достаточно провести, как он выражается, одинаковую «унитарную операцию» с данными двумя рисунками, то есть разрезать каждый из рисунков пополам и сравнить их половинные части.

Как видим, на Рис. 9 и 10, в результате деления уже разделенного круга на 10 равных между собой по периметру но не по площади частей (Рис.8) геоцентрическим и гелиоцентрическим методом, мы получаем разные количественные и качественные формы. Таким образом, на Рис.9 из 10 равных частей круга (Рис.5) осталось только 5 равных между собой частей круга, как по площади, так и по периметру. На Рис.10, как и на Рис. 8, то есть, как и во всем круге осталось 10, но не равных между собой частей, как по площади, так и по периметру. Площадь каждой, как бы десятой части половины круга отличается от соседней части в согласии с геометрической прогрессией:

(0, 5)ⁿ⁺¹< (0, 5)ⁿ < (0, 5)^n-1, где n – целые числа. Полупериметр каждой, как бы десятой части половины круга, соответственно отличается от соседнего полупериметра в согласии с арифметической прогрессией. Кроме того, плоский Рис.8 при делении его пополам прямой линией странным образом обретает иллюзорность некой объемной фигуры.

Какова причина увиденного нами явления. Причину удается прояснить, если сравнить между собой, орбиты геоцентрического и гелиоцентрического вращения небесных светил.

При геоцентрическом вращении, центр вращения «О» (Рис.11) системы небесных светил должен оставаться неподвижным. Все их орбиты вращения являют собой континуум (если можно так назвать) дискретного множества. При гелиоцентрическом вращении, центр вращения «О» (Рис.12) системы небесных светил является подвижным. То есть небесное светило вращается вокруг собственного неподвижного

центра и вращается (движется) по континуумной орбите вдоль ее оси и вместе с орбитой, являясь составной частью континуума другого реального небесного светила или звездной системы. Гелиоцентрическая система вращения небесных светил хорошо демонстрируется рисунками 13; 14 и 15. Однако, чтобы синтезировать мысленно три рисунка в одном, требуется хорошее пространственное воображение.

Рис. 13, Рис.14 и Рис. 15 демонстрируют нам гелиоцентрическое вращение против часовой стрелки в промежутке оборота на 90^о. Здесь очевидно, что все эксцентричные окружности, делящие круг на 10 частей, представляют собой континуумный синтез двух половин круга (Рис.8), при круговом переносе нижней его части на 180^о и кручении на 90^о. Мы видим, что при такой стыковке двух плоских половин круга, разделенных континумой на множество частей, создается иллюзия объемного объекта, который своей формой подобен конусу. Данное геометрическое построение является континуумным. Все его линии соединяются круговым движением в одной точке, которая в свою очередь также движется по кругу. Внимательный читатель, думается, заметил, что демонстрируемое мной пространственно-временное формообразование континуума на принципах синтетической геометрии триалектики принципиально отличается от формообразования континуума на принципах других, предшествующих ей геометрий. Далее я перехожу ко второй части описания заявленной темы. Я попытаюсь изложить суть проявления основных принципов синтетической геометрии триалектики при круговом движении многомерного пространства-времени.

Футуристическая Москва после 2050 года. Посвящается архитектору Николаю Ладовскому