Главная страница
Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Сезонная волна
Номер месяца
| Относительное суммарное
сезонное колебание
| Относительная
сезонная волна
|
| 1, 979
| 0, 6597
|
| 2, 316
| 0, 7718
|
| 2, 335
| 0, 7784
|
| 2, 297
| 0, 7656
|
| 2, 811
| 0, 9370
|
| 3, 161
| 1, 0538
|
| 3, 281
| 1, 0936
|
| 3, 688
| 1, 2295
|
| 3, 731
| 1, 2437
|
| 3, 455
| 1, 1517
|
| 2, 477
| 1, 2383
|
| 2, 463
| 1, 2314
|
Используем ряд Фурье в качестве аналитической модели сезонности. В этом виде уравнение ряда Фурье запишется следующим образом:
(6)
В этом уравнении величина определяет номер гармоники ряда Фурье. От числа учтенных гармоник зависит степень точности данной аналитической модели. Обычно используют от 1 до 4 гармоник в зависимости от необходимой точности и формы сезонной или циклической составляющей. Для отыскания параметров уравнения используется метод наименьших квадратов.
(7)
Найдя частные производные этой функции и приравняв их нулю, получим систему нормальных уравнений, решение которой дает следующие формулы для вычисления параметров:
(8)
Как видно из формул, параметры уравнений зависят от значений у и связанных с ними последовательных значений cos(kti) и sin (kti.).
Для изучения сезонных колебаний на протяжении выбранного периода (года) необходимо взять n = 12 (по числу месяцев в году). Тогда, представляя периоды как части длины окружности, ряд динамики можно записать в следующем виде:
Таблица 4
Период
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Уровень
| y0
| y1
| y2
| y3
| y4
| y5
| y6
| y7
| y8
| y9
| y10
| y11
| Величины периодов получаются следующим способом:
При , при и т.д.
При вычислении надо иметь в виду, что в четырех квадрантах от 0 до косинусы и синусы четыре раза принимают одни и те же абсолютные значения, а именно: 0; 0, 5; 0, 866; 1, взятые со знаком «плюс» или «минус». Вычисления синусов и косинусов разных гармоник приведены в табл. 5.
Таблица 5
t
| cos t
| cos 2t
| cos 3t
| cos 4t
| sin t
| sin 2t
| sin 3t
| sin 4t
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 0, 866
| 0, 5
|
| -0, 5
| 0, 5
| 0, 866
|
| 0, 866
|
| 0, 5
| -0, 5
| -1
| -0, 5
| 0, 866
| 0, 866
|
| -0, 866
|
|
| -1
|
|
|
|
|
|
|
| -0, 5
| -0, 5
|
| -0, 5
| 0, 866
| -0, 866
|
| 0, 866
|
| -0, 866
| 0, 5
|
| -0, 5
| 0, 5
| -0, 866
|
| -0, 866
|
| -1
|
| -1
|
|
|
|
|
|
| -0, 866
| 0, 5
|
| -0, 5
| -0, 5
| 0, 866
| -1
| 0.866
|
| -0, 5
| -0, 5
|
| -0, 5
| -0, 866
| 0, 866
|
| -0, 866
|
|
| -1
|
|
| -1
|
|
|
|
| 0, 5
| -0, 5
| -1
| -0, 5
| -0, 866
| -0, 866
|
| 0, 866
|
| 0, 866
| 0, 5
|
| -0, 5
| -0, 5
| -0, 866
| -1
| -0, 866
|
Вычисление синусов и косинусов годовой динамике t обозначает номер месяца. Для определения параметров ак и bк находят соответствующие уравнения для гармоники. Для первой гармоники, т.е. для , уравнение примет вид:
(9)
в котором параметры a0, a1 и b1, будут найдены из соотношений:



Уравнение модели с учетом только первой гармоники (рис. 9) будет иметь следующий вид:

Далее построим модель сезонной волны, применив первую и вторую гармоники ряда Фурье (табл. 6).
Таблица 6
Месяц
| t
| Относительное сезонное колебание
| у cos t
| у sin t
| y1
| у cos 2t
| у sin 2t
| y2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Январь
|
| 0, 6597
| 0, 659704703
|
| 0, 886459156
| 0, 659704703
|
| 0, 9930
| Февраль
|
| 0, 7718
| 0, 66841076
| 0, 38591845
| 0, 789424278
| 0, 385918453
| 0, 66841076
| 0, 9483
| Март
|
| 0, 7784
| 0, 389182007
| 0, 67406324
| 0, 752262988
| -0, 38918201
| 0, 674063236
| 0, 9682
| Апрель
|
| 0, 7656
|
| 0, 76560211
| 0, 784925579
| -0, 76560211
|
| 1, 0328
| Май
|
| 0, 9370
| -0, 468477138
| 0, 8114024
| 0, 878678534
| -0, 46847714
| -0, 8114024
| 1, 0774
| Июнь
|
| 1, 0538
| -0, 912583347
| 0, 5268957
| 1, 008376002
| 0, 526895697
| -0, 91258335
| 1, 0575
| Июль
|
| 1, 0936
| -1, 093640386
|
| 1, 139290247
| 1, 093640386
|
| 0, 9930
| Август
|
| 1, 2295
| -1, 064735531
| -0, 6147434
| 1, 236325125
| 0, 614743378
| 1, 064735531
| 0, 9483
| Сентябрь
|
| 1, 2437
| -0, 62186987
| -1, 0770786
| 1, 273486414
| -0, 62186987
| 1, 077078615
| 0, 9682
| Октябрь
|
| 1, 1517
|
| -1, 1517203
| 1, 240823824
| -1, 15172032
|
| 1, 0328
| Ноябрь
|
| 1, 2383
| 0, 619134436
| -1, 0723408
| 1, 147070869
| -0, 61913444
| -1, 07234084
| 1, 0774
| Декабрь
|
| 1, 2314
| 1, 066381093
| -0, 6156935
| 1, 0173734
| 0, 615693472
| -1, 06638109
| 1, 0575
| Итого
|
| 12, 1545
| -0, 758493273
| -1, 3676947
| 12, 15449642
| -0, 11938979
| -0, 37841955
| 12, 1545
|
Находим вторую гармонику Фурье:
,

Уравнение модели с двумя гармониками будет иметь следующий вид:
Таким образом, можно сказать, что мы нашли аналитическое выражение циклической (сезонной) составляющей Vt.
Итак, построим общую модель ряда представляющую произведение составляющих U и V без случайной компоненты, а именно:

Полученное уравнение — модель ряда yt, для которого известны составляющие Ut, Vt. Случайную составляющую Еt, можно получить следующим образом:

Поскольку , и , — известные величины, то найти Еt, нетрудно. Модель, учитывающая составляющие Ut, Vt, Et для данного ряда, может быть записана так:

График исходного динамического ряда, тренда и общей модели ряда у0 представлен на рис.3.

Исследуем качество модели. Так как методика оценки качества аналогична методике оценки качества линейной модели, подробно излагать ее не будем, а приведем лишь основные расчеты.
1. Проверка случайностей уровней на основе критерия поворотных точек.
= 23 — число поворотных точек (табл.7).
> Р - целая часть от 
где п — число членов ряда.
Следовательно, > Р, так как 23 > 17, и свойство случайностей выполняется.
Таблица7
|