Пример 8.

Преобразовать шестнадцатеричное А₁₆=2D в десятичную систему счисления А₁₀.

Решение.

2D₁₆=13 × 16⁰+2 × 16¹=45₁₀

Ответ: А₁₀=45_.

Преобразование чисел, представленных в десятичной системе счисления, в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления – более сложная процедура, которая может осуществляться различными способами: деления, умножения, вычитания и т.д. при этом необходимо учитывать, что способы перевода целых чисел и правильных дробей будут различаться. Для перевода целого десятичного числа в двоичную систему счисления можно использовать метод деления, а для перевода правильной десятичной дроби – метод умножения. Метод деления состоит в последовательном делении десятичного числа на основание той системы, в которую оно переводится, до тех пор, пока не получится частное меньшее этого основания. Число в новой системе записывается в виде остатков деления, начиная с последнего. В методе умножения производится последовательное умножение правильной десятичной дроби на основание той системы счисления, в которую оно переводится. При этом умножаются только дробные части. Дробь в новой системе записывается в виде целых частей произведений, начиная с первого.

Пример 9. Преобразовать десятичное число А₁₀=258 в двоичную систему счисления А₂.

Решение.

258/2=129 Остаток 0,

129/2=64 Остаток 1,

64/2=32 Остаток 0,

32/2=16 Остаток 0,

16/2=8 Остаток 0,

8/2=4 Остаток 0,

4/2=2 Остаток 0,

2/2=1 Остаток 1,

1.

Начиная с последнего частного, записываем остатки снизу вверх: 1100000010.

Ответ: А₂=1100000010.

Пример 10. Преобразовать десятичное число А₁₀=12 в двоичную систему счисления А₂.

Решение.

12/2=6 Остаток 0,

6/2=3 Остаток 0,

3/2=1 Остаток 1.

1.

Начиная с последнего частного, записываем остатки снизу вверх: 1100.

Ответ: А₂=1100.

Пример 11. Преобразовать десятичное число А₁₀=0, 625 в двоичную систему счисления А₂.

Решение.

0, 625× 2 = 1, 25 ® 1

0, 250× 2 = 0, 50 ® 0

0, 500× 2 = 1, 00 ® 1

0, 000× 2 = 0, 00

Дробная часть равна 0, следовательно, результат получен. Надо записать целые части чисел, начиная сверху, запятую поставить после первого 0.

Ответ: 0, 625₁₀=0, 101₂.

Замечание. Конечной десятичной дроби в другой системе счисления может соответствовать бесконечная (иногда периодическая) дробь. В этом случае количество знаков в представлении дроби в новой системе берется в зависимости от требуемой точности.

Пример 12. Преобразовать десятичное число А₁₀=0, 35 в двоичную систему счисления А₂.

Решение.

0, 35× 2 = 0, 70 ® 0

0, 70× 2 = 1, 40 ® 1

0, 40× 2 = 0, 80® 0

0, 80× 2 = 1, 60 ® 1

0, 60× 2 = 1, 20 ® 1

0, 20× 2 = 0, 40 ® 0

0, 40× 2 = 0, 80 ® 0

Дробная часть не равна 0, полученный результат представляет собой периодическую дробь. Повторяемые значения дроби выделены курсивом.

Ответ: 0, 35 ₁₀=0, 01(0110)₂.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую достаточно просто реализуется с помощью компьютерных программ Калькулятор и MS Excel. Однако следует заметить, что данные программы осуществляют перевод только целых чисел.

Преобразуем с помощью компьютерного калькулятора число AF₁₆ в двоичную, восьмеричную и десятичную системы счисления. Запустим программу Калькулятор с помощью команды: Пуск – Программы – Стандартные – Калькулятор. Затем выполним команду: Вид – Инженерный. У калькулятора имеется четыре опционные кнопки, расположенные слева вверху под индикатором вывода результата вычислений. При активизации кнопки Hex осуществляется преобразование числа, отображаемого в поле ввода, и результата вычислений калькулятора в шестнадцатеричную систему счисления, Dec – в десятичную, Oct – в восьмеричную, Bin – двоичную систему счисления. Активизируем кнопку Hex и введем число AF₁₆. последовательно переключая кнопки Bin, Oct и Dec получим следующие результаты: AF₁₆ = 10101111₂ = 257₈ = 175₁₀. на рисунке показан результат преобразования числа AF₁₆ в число 257₈.

Рис 4. Программа «Калькулятор»

При преобразовании шестнадцатеричного числа AF₁₆ в двоичную, восьмеричную и десятичную системы счисления с помощью программы MS Excel необходимо выполнить следующие действия. В ячейку А2 введем число AF. В ячейке B2 выполним команду Вставка – Функция. В открывшемся окне диалога «Мастер функций – шаг 1 из 2» установим «Категория: Инженерные» и выберем функцию «ШЕСТН.В.ДВ». После нажатия кнопки OK появится диалоговое окно «Аргументы функции», показанное на рисунке 7. В соответствующее поле окна введем адрес ячейки, в которой находится число AF₁₆ и нажмем кнопку OK.

Рис 5. Диалоговое окно «Аргументы функции» функции «ШЕСТН.В.ДВ»

В результате этих действий получаем в ячейке В2 искомое значение в двоичной системе счисления.

Аналогично преобразуем шестнадцатеричное число AF₁₆ в восьмеричную и десятичную системы счисления, используя функции, «ШЕСТН.В.ВОСЬМ», «ШЕСТН.В.ДЕС» категории «Инженерные».

Результаты преобразований шестнадцатеричного числа AF₁₆ в двоичную, восьмеричную и десятичную системы счисления с помощью программы MS Excel показаны на рисунке 8.

Рис 6. Лист MS Excel «Результаты преобразований»