Представление чисел в компьютере

Числовые данные обрабатываются в компьютере в двоичной системе счисления. Числа хранятся в памяти компьютера в двоичном коде, т.е. в виде последовательности нулей и единиц, и могут быть преобразованы в формате с фиксированной или плавающей запятой.

Целые числа хранятся в памяти в формате с фиксированной запятой. При таком формате представления чисел для хранения целых неотрицательных чисел отводится регистр памяти (8 бит). Например, число 11001101₂ будет храниться в регистре памяти следующем образом:

Максимальное значение целого неотрицательного числа, которое может храниться в регистре в формате с фиксированной запятой, можно определить из формулы: 2ⁿ - 1, где n – число разрядов числа. Максимальное число при этом будет равно 2⁸ – 1=255₁₀ = 11111111₂ и минимальное 0₁₀ = 00000000₂. Таким образом, диапазон изменения целых неотрицательных чисел будет находиться в пределах от 0 до 255₁₀.

В отличие от десятичной системы в двоичной системе счисления при компьютерном представлении двоичного числа отсутствуют символы, обозначающие знак числа: положительный (+) или отрицательный (-), поэтому для представления целых чисел со знаком в двоичной системе используются два формата представления числа: формат значения числа со знаком и формат дополнительного кода. В первом случае для хранения целых чисел со знаком отводится два регистра памяти (16 бит), причем старший разряд (крайний слева) используется под знак числа: если число положительное, то в знаковый разряд записывается 0, если число отрицательное, то – 1. Например, число 536₁₀ = 0000001000011000₂ будет представлено в регистрах памяти в следующем виде:

а отрицательное число -536₁₀ = 1000001000011000₂ в виде:

Максимальное положительное число или минимальное отрицательное в формате значения числа со знаком (с учетом представления одного разряда под знак) равно 2^n-1 – 1 = 2^16-1 – 1 = 2¹⁵ – 1 = 32767₁₀ = 111111111111111₂ и диапазон чисел будет находится в пределах от -32767₁₀ до 32767₁₀.

Наиболее часто для представления целых чисел со знаком в двоичной системе применяется формат дополнительного кода, который позволяет заменить арифметическую операцию вычитания в компьютере операцией сложения, что увеличивает быстродействие микропроцессора.

Для представления целых отрицательных чисел в таком формате используется дополнительный код, который представляет собой дополнение модуля отрицательного числа до нуля. Перевод целого отрицательного числа в дополнительный код осуществляется по следующему алгоритму:

1) модуль числа записать прямым кодом в n (n=16) двоичных разрядах;

2) получить обратный код числа (инвертировать все разряды числа, т.е. все единицы заменить на нули, а нули – на единицы);

3) к полученному обратному коду прибавить единицу к младшему разряду.

Пример 19. С помощью программы Калькулятор получить дополнительный код числа -536₁₀ в двоичной системе счисления.

Решение.

Используем алгоритм перевода целого отрицательного числа в дополнительный код.

Введем значение модуля числа -536₁₀, т.е. число 536₁₀. С помощью опционной кнопки Bin преобразуем это число, представленное в десятичной системе счисления, в двоичную систему счисления. Предварительно установите опционную кнопку 2 байта. Нажав кнопку Not калькулятора, получим обратный код числа, а прибавив к обратному коду двоичную единицу, - дополнительный код. Окончательный результат получим в поле окна программы Калькулятор (рис. 10).

Можно поступить еще проще: набрав на калькуляторе число -536₁₀ и активизировать кнопку Bin, получить дополнительный код этого числа в двоичной системе счисления.

Рис 8. Результат получения дополнительного кода

Необходимо помнить, что дополнительный код положительного числа – само число.

Для хранения целых чисел со знаком помимо 16-разрядного компьютерного представления, когда используются два регистра памяти (такой формат числа называется также форматом коротких целых чисел), применяются форматы средних и длинных целых чисел со знаком. Для представления числа в формате средних чисел используется четыре регистра (4´ 8 = 32 бит), а для представления числа в формате длинных чисел – восемь регистров (8´ 8 = 64 бита). Диапазон значений для формата средних чисел равен –(2³¹ – 1) ¼ +(2³¹ – 1). Диапазон значений для формата длинных чисел равен –(2⁶³ – 1) ¼ +(2⁶³ – 1).

Компьютерное представление чисел в формате с фиксированной запятой имеет свои преимущества и недостатки. К преимуществам относятся простота представления чисел и алгоритмов реализации арифметических операций. К недостаткам – конечный диапазон представления чисел, который может быть недостаточным для решения многих задач практического характера.

Вещественные числа (конечные и бесконечные десятичные дроби) обрабатываются и хранятся в компьютере в формате с плавающей запятой. При таком формате представления числа положение запятой в записи может изменяться. С изменением порядка запятая в числе смещается, т.е. как бы плавает вправо или влево. Любое вещественное число К в формате с плавающей запятой может быть представлено в виде:

(11)

где A – мантисса числа, h – основание системы счисления, р – порядок числа.

Выражение (11) примет вид для системы счисления:

· двоичной ;

· десятичной ;

· восьмеричной ;

· шестнадцатеричной .

Формат представления чисел с плавающей запятой также называют естественно математической формой. Но эта форма записи десятичных чисел не используется при вводе их в компьютер (устройство ввода компьютеров воспринимают только экспоненциальную форму записи данных). Исходя из этого выражение (11) для представления десятичных чисел и ввода их в компьютер преобразовываются к экспоненциальному виду:

(12)

где p – порядок числа.

В экспоненциальной записи представления десятичных чисел вместо основания системы счисления 10 пишут букву Е, вместо запятой – точку, и знак умножения не ставится.

Пример 20. Запишите десятичное число 15, 5 в формате с плавающей запятой (естественно математическая форма) и экспоненциальной форме (компьютерное представление).