Тема 3 Средние статистические показатели

Основные понятия и определения

Наиболее распространенной формой статистических показателей, используемых в социально-экономических исследованиях, является средняя величина, представляющая собой обобщенную количественную характеристику признака в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени.

Значения признака отдельных единиц совокупности могут отклоняться в ту или иную сторону под влиянием множества факторов. Сущность средней заключается в том, что в ней взаимопогашаются отклонения значений признака отдельных единиц совокупности, обусловленные действием случайных факторов, и учитываются изменения, вызванные действием факторов основных.

Типичность средней непосредственным образом связана с однородностью статистической совокупности. Средняя величина только тогда будет отражать типичный уровень признака, когда она рассчитана по качественно однородной совокупности. Поэтому метод средних используется в сочетании с методом группировок: если совокупность неоднородна по значениям признака, то общие средние должны быть дополнены групповыми средними, то есть средними рассчитанными по качественно однородным группам.

В зависимости от того, в каком виде представлены исходные данные, для расчета средней может быть использован один из следующих видов: средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя квадратическая (кубическая и т.д.). Средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя квадратическая (кубическая и т.д.) объединяются в общей формуле средней степенной (при различном значении k):

(3.1)

где - средняя величина признака;

- индивидуальные значения осредняемого признака;

- частота или вес.

Величины степенных средних, рассчитанных на основе одних и тех же индивидуальных значений признака при различных значениях степени k, не одинаковы. Чем выше степень k, тем больше величина самой средней. Иначе это соотношение между различными величинами средней называется правилом мажорантности.

Помимо степенных средних на практике также используются структурные средние (мода, медиана, децили и др.). Наиболее распространенными среди них являются мода и медиана.

При анализе рядов динамики для нахождения среднего уровня ряда применяется форма средней хронологической.

Наиболее распространенным видом средних величин является средняя арифметическая, которая, в зависимости от характера исходных данных, может быть простой и взвешенной.

Средняя арифметическая простая (невзвешенная) используется для расчета средней по несгруппированным данным:

(3.2)

где - средняя величина признака;

- индивидуальные значения осредняемого признака;

- число единиц совокупности.

Средняя арифметическая взвешенная используется, как правило, для расчета средней по сгруппированным данным, или в случае, когда отдельные значения осредняемого признака могут повторяться несколько раз:

(3.3)

где - средняя величина признака;

- индивидуальные значения осредняемого признака;

- частота или вес.

Примечание: при расчете по интервальному вариационному ряду переходят от интервалов к их серединам.

Если для расчета среднего значения признака по форме средней арифметической недостаточно данных, то в некоторых случаях можно воспользоваться средней гармонической, которая также может быть представлена в форме простой или взвешенной.

Средняя гармоническая простая рассчитывается по формуле:

. (3.4)

Средняя гармоническая взвешенная рассчитывается по формуле:

, (3.5)

где M = .

Еще одной формулой, по которой может осуществляться расчет среднего значения, является средняя геометрическая. Данный вид средней, как правило, используется при анализе динамических рядов для расчета среднего коэффициента роста.

Средняя геометрическая невзвешенная:

. (3.6)

Средняя геометрическая взвешенная:

. (3.7)

При расчете показателей вариации используется средняя квадратическая:

простая , (3.8)

взвешенная . (3.9)

Средняя хронологическая применяется для расчета среднего уровня моментных рядов динамики:

. (3.10)

Структурные средние в отличие от других видов средних величин выступают как конкретные величины, совпадающие с вполне определенными вариантами совокупности. Это обстоятельство делает их незаменимыми при решении ряда практических задач.

Модой называется значение признака, которое наиболее часто встречается у единиц статистической совокупности. Для интервального ряда распределения мода рассчитывается по следующей формуле:

(3.11)

где - значение моды;

- нижняя граница модального интервала;

- ширина модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего модальному;

- частота интервала, следующего за модальным.

Медианой называется значение признака, находящееся в середине ранжированного ряда и разделяющего, таким образом, этот ряд на две равные по численности части.

Для интервального ряда распределения медиана рассчитывается по следующей формуле:

(3.12)

где - значение медианы;

- нижняя граница медианного интервала;

- ширина медианного интервала;

- накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

- частота медианного интервала.

Ранжированный ряд – ряд значений признака, расположенных либо в порядке возрастания, либо в порядке убывания.

Прежде чем рассчитать значение моды или медианы, необходимо определить, какой из представленных интервалов будет являться модальным или медианным.

Модальным является интервал, имеющий наибольшую частоту. Медианным - первый интервал, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот.