Элементы топологии цепей

При расчете и анализе электрической цепи большую роль иг­рает изучение и учет ее геометрической структуры, геометриче­ского образа цепи. Они основаны на топологии. Топология — раз-

дел математики, в котором исследуются геометрические свойства фигур, не зависящие от их размеров ипрямолинейности. Кчислу основных геометрических топологических понятий, используемых в теории электрических цепей, относятся: ветвь, узел, контур, граф.

Ветвь — участок электрической цепи, представляющий собой последовательное соединение одного или нескольких элементов, через которые в любой момент времени протекает один и тот же ток.

Узел электрической цепи — место соединения ее ветвей. На схемах узлы изображаются точкой.

Контуром электрической цепи называют любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям.

Топологические свойства линейной электрической цепи изу­чают путем замены всех ее элементов линиями. Если на схеме цепи (рис. 1.11, а) все узлы заменить точками, аветви — линиями,

то полученный остов называется топологическим графом цепи (рис. 1.11, 6). Граф цепи — это такое изображение ее схемы, на котором все узлы заменены точками, а ветви — линиями.

Узел графа — точка соединения трех и более ветвей. Ветвь графа — это ветвь схемы цепи, вырожденная в линию. Ветвь графа образуется лишь из ветвей цепи, содержащих такие элементы, как сопротивление, индуктивность или емкость. По ветвь цепи, содер­жащая лишь идеальные источ­ники энергии, не образует ветви на графе. Обратим вни­мание на особенности учета источников энергии при по­строении графа. Перед по­строением графа цепи каждый идеальный источник тока за­меняется разрывом его ветви, а идеальный источник э. д. с.— коротким замыканием его за­жимов. Объясняется это тем, что внутреннее сопротивление этих элементов равно беско­нечности или нулю соответственно, а это эквивалентно разрыву или замыканию ветви (рис. 1.12).

Важными понятиями в топологии цепей являются дерево графа и связь или хорда графа.

Дерево графа — любая совокупность ветвей графа, соединяю­щих все его узлы без образования контуров. Так как узлы графа можно, не образуя контуры, соединить линиями по-разному, каж­дому графу соответствует несколько различных деревьев, напри­мер, как это показано сплошными линиями на рис. 1.13. Число ветвей на дереве графа на единицу меньше числа соединяемых ими узлов. Число ветвей графа является важной характеристикой цепи, определяющей число ее независимых узлов. Независимыми называются все узлы схемы, которые образуют соответствующие узлы на ее графе, исключая любой один из них. Число независи­мых узлов равно числу ветвей на дереве графа.

Связь (хорда) графа — ветвь графа, не принадлежащая его дереву. Па рис. 1.13 связи графа показаны пунктиром. При допол­нении дерева графа связью (хордой) на графе образуется контур. Каждый из этих контуров не может быть образован только из эле­ментов других контуров и называется независимым контуром. Число независимых контуров равно числу связей (хорд) на графе. Например, цепи, приведенные на рис. 1.11 и 1.12, имеют три не­зависимых контура по числу связей графа.

Часто на ветвях графа стрелкой указывают направления. Та­кой граф становится направленным. Ориентация обычно соответ­ствует принятым направлениям токов, протекающих в соответ­ствующих ветвях цепи, или напряжений, действующих на их за­жимах. Направленный граф схемы — это граф с указанием условно-положительных направлений токов или напряжений в виде отрезков со стрелками.